Himpunan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

Himpunan nilai x yang memenuhi adalah $-4 < x < 8$.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan $|x-2|^2 < 4|x-2| + 12$.

Misalkan $y = |x-2|$. Maka pertidaksamaan menjadi:
$y^2 < 4y + 12$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan pertidaksamaan kuadrat:
$y^2 - 4y - 12 < 0$

Faktorkan pertidaksamaan kuadrat:
$(y - 6)(y + 2) < 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita cari akar-akarnya terlebih dahulu: $y = 6$ dan $y = -2$.
Karena parabola $y^2 - 4y - 12$ terbuka ke atas, maka nilai $y^2 - 4y - 12$ akan negatif di antara akar-akarnya.
Jadi, solusi untuk y adalah $-2 < y < 6$.

Sekarang, substitusikan kembali $y = |x-2|$:
$-2 < |x-2| < 6$

Kita tahu bahwa nilai mutlak selalu non-negatif, yaitu $|x-2| \ge 0$. Oleh karena itu, bagian $-2 < |x-2|$ selalu benar.
Kita hanya perlu menyelesaikan $|x-2| < 6$.

Pertidaksamaan nilai mutlak $|x-2| < 6$ dapat dipecah menjadi dua pertidaksamaan:
$-6 < x-2 < 6$

Tambahkan 2 ke semua bagian:
$-6 + 2 < x < 6 + 2$
$-4 < x < 8$

Namun, kita juga harus mempertimbangkan bahwa $|x-2|$ harus lebih besar dari atau sama dengan 0. Karena solusi kita adalah $-4 < x < 8$, maka $x-2$ berada di antara $-6$ dan $6$. Dalam rentang ini, $x-2$ bisa negatif, nol, atau positif. Nilai mutlaknya akan selalu $\ge 0$.

Jadi, himpunan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-4 < x < 8$.

*Pengecekan:
Pilih nilai dalam rentang, misalnya $x=0$. $|0-2|^2 = (-2)^2 = 4$. $4|0-2| + 12 = 4|-2| + 12 = 4(2) + 12 = 8 + 12 = 20$. $4 < 20$. Benar.
Pilih nilai di luar rentang, misalnya $x=10$. $|10-2|^2 = 8^2 = 64$. $4|10-2| + 12 = 4(8) + 12 = 32 + 12 = 44$. $64 < 44$. Salah.
Pilih nilai di luar rentang, misalnya $x=-5$. $|-5-2|^2 = (-7)^2 = 49$. $4|-5-2| + 12 = 4|-7| + 12 = 4(7) + 12 = 28 + 12 = 40$. $49 < 40$. Salah.