Himpunan penyelesaian (1/3)^(x^2-3x-5)<(1/2)^(-x-2) adalah

Himpunan penyelesaiannya adalah $x < -1.08$ atau $x > 3.45$.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial berikut: $(1/3)^{x^2-3x-5} < (1/2)^{-x-2}$.

Pertama, kita ubah basis agar sama atau setidaknya kita bisa membandingkan nilai eksponennya. Dalam kasus ini, basisnya adalah $1/3$ dan $1/2$, keduanya kurang dari 1. Ketika basis kurang dari 1, tanda pertidaksamaan akan berbalik arah ketika kita membandingkan eksponennya.

$(1/3)^{x^2-3x-5} = 3^{-(x^2-3x-5)} = 3^{-x^2+3x+5}$
$(1/2)^{-x-2} = 2^{-(-x-2)} = 2^{x+2}$

Pertidaksamaan menjadi: $3^{-x^2+3x+5} < 2^{x+2}$.

Karena basisnya berbeda (3 dan 2) dan keduanya lebih besar dari 1, kita bisa mengambil logaritma dari kedua sisi untuk menyederhanakannya. Mari kita gunakan logaritma natural (ln):

$\\ln(3^{-x^2+3x+5}) < \\ln(2^{x+2})$

Menggunakan sifat logaritma $\\ln(a^b) = b \\ln(a)$: 

$(-x^2+3x+5) \\ln(3) < (x+2) \\ln(2)$

Sekarang, kita distribusikan $\\ln(3)$ dan $\\ln(2)$: 

$-x^2 \\ln(3) + 3x \\ln(3) + 5 \\ln(3) < x \\ln(2) + 2 \\ln(2)$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:

$0 < x^2 \\ln(3) - 3x \\ln(3) + x \\ln(2) + 2 \\ln(2) - 5 \\ln(3)$

$0 < x^2 \\ln(3) + x (\\ln(2) - 3 \\ln(3)) + (2 \\ln(2) - 5 \\ln(3))$

Ini adalah pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk $Ax^2 + Bx + C > 0$, di mana:
$A = \\ln(3) \\approx 1.0986$
$B = \\ln(2) - 3 \\ln(3) \\approx 0.6931 - 3(1.0986) = 0.6931 - 3.2958 = -2.6027$
$C = 2 \\ln(2) - 5 \\ln(3) \\approx 2(0.6931) - 5(1.0986) = 1.3862 - 5.4930 = -4.1068$

Pertidaksamaan menjadi:

$x^2 (1.0986) + x (-2.6027) + (-4.1068) > 0$

Untuk menemukan himpunan penyelesaiannya, kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2 \\ln(3) + x (\\ln(2) - 3 \\ln(3)) + (2 \\ln(2) - 5 \\ln(3)) = 0$. Menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-B \\pm \\sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$:

$x = \frac{-( -2.6027) \\pm \\sqrt{(-2.6027)^2 - 4(1.0986)(-4.1068)}}{2(1.0986)}$

$x = \frac{2.6027 \\pm \\sqrt{6.7740 + 18.0383}}{2.1972}$

$x = \frac{2.6027 \\pm \\sqrt{24.8123}}{2.1972}$

$x = \frac{2.6027 \\pm 4.9812}{2.1972}$

Akar-akarnya adalah:
$x_1 = \frac{2.6027 + 4.9812}{2.1972} = \frac{7.5839}{2.1972} \approx 3.45$
$x_2 = \frac{2.6027 - 4.9812}{2.1972} = \frac{-2.3785}{2.1972} \approx -1.08$

Karena koefisien $x^2$ ($\\ln(3)$) positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan $Ax^2 + Bx + C > 0$ terpenuhi ketika $x$ berada di luar akar-akar tersebut.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x < -1.08$ atau $x > 3.45$.

Dalam notasi interval: $(-\infty, -1.08) \cup (3.45, \infty)$.

Perlu dicatat bahwa jika soal ini berasal dari konteks ujian pilihan ganda, seringkali bentuk soal diubah agar tidak memerlukan kalkulator, misalnya dengan membandingkan eksponen secara langsung jika basisnya sama atau jika ada hubungan yang jelas antar basisnya.