Kelas 9Kelas 10mathGeometri
Sebuah kubus memiliki panjang rusuk a cm . Titik A, C , dan
Pertanyaan
Sebuah kubus memiliki panjang rusuk a cm. Titik A, C, dan G dihubungkan dengan garis sehingga terbentuk segitiga ACG. Gambarkan segitiga ACG beserta ukuran sisi-sisinya, dengan menggunakan aturan kosinus tentukan besar sudut GAC, dan tentukan luas segitiga ACG.
Solusi
Verified
Sisi AC = a√2, CG = a, AG = a√3. Sudut GAC = arccos(√6/3). Luas segitiga ACG = (a²√2)/2.
Pembahasan
Sebuah kubus dengan panjang rusuk a cm memiliki titik-titik sudut A, B, C, D pada alas dan E, F, G, H pada tutup atas, dengan E di atas A, F di atas B, G di atas C, dan H di atas D. a. Segitiga ACG terbentuk dari diagonal alas AC, diagonal ruang AG, dan diagonal sisi CG. - Sisi AC adalah diagonal alas persegi ABCD. Dengan teorema Pythagoras pada segitiga ABC siku-siku di B, AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a². Jadi, AC = a√2 cm. - Sisi CG adalah rusuk kubus, jadi CG = a cm. - Sisi AG adalah diagonal ruang kubus. Dengan teorema Pythagoras pada segitiga ACG siku-siku di C, AG² = AC² + CG² = (a√2)² + a² = 2a² + a² = 3a². Jadi, AG = a√3 cm. Jadi, segitiga ACG memiliki sisi-sisi dengan panjang a√2 cm, a cm, dan a√3 cm. b. Untuk menentukan besar sudut GAC menggunakan aturan kosinus pada segitiga ACG: CG² = AC² + AG² - 2 * AC * AG * cos(∠GAC) a² = (a√2)² + (a√3)² - 2 * (a√2) * (a√3) * cos(∠GAC) a² = 2a² + 3a² - 2a²√6 * cos(∠GAC) a² = 5a² - 2a²√6 * cos(∠GAC) 2a²√6 * cos(∠GAC) = 4a² cos(∠GAC) = 4a² / (2a²√6) = 2 / √6 = 2√6 / 6 = √6 / 3 ∠GAC = arccos(√6 / 3) c. Luas segitiga ACG dapat dihitung dengan rumus luas segitiga siku-siku karena sudut C adalah sudut siku-siku (karena CG tegak lurus dengan bidang alas ABCD, sehingga tegak lurus dengan AC yang berada di bidang alas). Luas Segitiga ACG = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AC * CG Luas Segitiga ACG = 1/2 * (a√2) * a Luas Segitiga ACG = (a²√2) / 2 cm².
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Kubus, Trigonometri
Section: Aturan Kosinus, Jarak Dan Sudut Dalam Kubus
Apakah jawaban ini membantu?