Sebuah kubus memiliki panjang rusuk a cm . Titik A, C , dan

Sisi AC = a√2, CG = a, AG = a√3. Sudut GAC = arccos(√6/3). Luas segitiga ACG = (a²√2)/2.

Pembahasan

Sebuah kubus dengan panjang rusuk a cm memiliki titik-titik sudut A, B, C, D pada alas dan E, F, G, H pada tutup atas, dengan E di atas A, F di atas B, G di atas C, dan H di atas D.

a. Segitiga ACG terbentuk dari diagonal alas AC, diagonal ruang AG, dan diagonal sisi CG.
   - Sisi AC adalah diagonal alas persegi ABCD. Dengan teorema Pythagoras pada segitiga ABC siku-siku di B, AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a². Jadi, AC = a√2 cm.
   - Sisi CG adalah rusuk kubus, jadi CG = a cm.
   - Sisi AG adalah diagonal ruang kubus. Dengan teorema Pythagoras pada segitiga ACG siku-siku di C, AG² = AC² + CG² = (a√2)² + a² = 2a² + a² = 3a². Jadi, AG = a√3 cm.
   Jadi, segitiga ACG memiliki sisi-sisi dengan panjang a√2 cm, a cm, dan a√3 cm.

b. Untuk menentukan besar sudut GAC menggunakan aturan kosinus pada segitiga ACG:
   CG² = AC² + AG² - 2 * AC * AG * cos(∠GAC)
   a² = (a√2)² + (a√3)² - 2 * (a√2) * (a√3) * cos(∠GAC)
   a² = 2a² + 3a² - 2a²√6 * cos(∠GAC)
   a² = 5a² - 2a²√6 * cos(∠GAC)
   2a²√6 * cos(∠GAC) = 4a²
   cos(∠GAC) = 4a² / (2a²√6) = 2 / √6 = 2√6 / 6 = √6 / 3
   ∠GAC = arccos(√6 / 3)

c. Luas segitiga ACG dapat dihitung dengan rumus luas segitiga siku-siku karena sudut C adalah sudut siku-siku (karena CG tegak lurus dengan bidang alas ABCD, sehingga tegak lurus dengan AC yang berada di bidang alas).
   Luas Segitiga ACG = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AC * CG
   Luas Segitiga ACG = 1/2 * (a√2) * a
   Luas Segitiga ACG = (a²√2) / 2 cm².