Himpunan penyelesaian dari cosx-akar(3)sinx=akar(2) untuk

{15°, 105°}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \(\cos x - \sqrt{3} \sin x = \sqrt{2}\), kita dapat menggunakan metode mengubah bentuk \(A \cos x + B \sin x\) menjadi \(R \cos(x+\alpha)\).
Dalam kasus ini, \(A=1\) dan \(B=-\sqrt{3}\).
Nilai \(R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2\).
Untuk mencari \(\alpha\), kita gunakan \(\cos \alpha = A/R = 1/2\) dan \(\sin \alpha = -B/R = -(-\sqrt{3})/2 = \sqrt{3}/2\).
Nilai \(\alpha\) yang memenuhi kedua kondisi ini adalah \(\alpha = -60^\circ\) atau \(300^\circ\). Kita bisa memilih \(\alpha = -60^\circ\).
Jadi, persamaan menjadi \(2 \cos(x - 60^\circ) = \sqrt{2}\).
\(\cos(x - 60^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Nilai cosinus yang bernilai \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) adalah \(45^\circ\) dan \(315^\circ\).

Maka, kita punya dua kemungkinan:
1. \(x - 60^\circ = 45^\circ + k 	imes 360^\circ\)
   \(x = 105^\circ + k 	imes 360^\circ\)
   Untuk \(k=0\), \(x = 105^\circ\).
2. \(x - 60^\circ = -45^\circ + k 	imes 360^\circ\)
   \(x = 15^\circ + k 	imes 360^\circ\)
   Untuk \(k=0\), \(x = 15^\circ\).

Namun, jika kita menggunakan bentuk \(R \cos(x+\alpha)\), kita perlu menyesuaikan nilai \(\alpha\).
Mari kita gunakan \(R \sin(x+\alpha)\) atau \(R \cos(x-\alpha)\).

Jika kita gunakan \(R \\cos(x+\\alpha)\\) dengan \(\cos \\alpha = A/R = 1/2\) dan \(\sin \\alpha = B/R = -sqrt(3)/2\), maka \(\alpha = -60^\circ.\) Persamaan menjadi \(2 \cos(x-60^\circ) = \sqrt{2}\) atau \(\cos(x-60^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 
Nilai \(x-60^\circ\) yang memenuhi adalah \(45^\circ\) atau \(-45^\circ\) (atau \(315^\circ\)).
Jika \(x-60^\circ = 45^\circ\), maka \(x = 105^\circ\).
Jika \(x-60^\circ = -45^\circ\), maka \(x = 15^\circ\).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah **{15°, 105°}**.