Himpunan penyelesaian dari persamaan cos^2(x)+sin 2x-1=0

{ $0, \pi, 2\pi, \arctan(2), \arctan(2) + \pi$ }

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos^2(x) + \sin(2x) - 1 = 0$ pada interval $0 \le x \le 2\pi$, kita perlu menggunakan identitas trigonometri.

Identitas yang relevan adalah:
1. $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
2. $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$

Substitusikan identitas $\sin(2x)$ ke dalam persamaan:
$\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0$

Gunakan identitas $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:
$(1 - \sin^2(x)) + 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0$

Sederhanakan persamaan:
$-\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 0$

Faktorkan $\sin(x)$:
$\sin(x) (- \sin(x) + 2\cos(x)) = 0$

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan:

Kasus 1: $\sin(x) = 0$
Pada interval $0 \le x \le 2\pi$, $\sin(x) = 0$ ketika $x = 0$, $x = \pi$, dan $x = 2\pi$.

Kasus 2: $-\sin(x) + 2\cos(x) = 0$
$2\cos(x) = \sin(x)$
Bagi kedua sisi dengan $\cos(x)$ (dengan asumsi $\cos(x) \ne 0$):
$2 = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
$2 = \tan(x)$

Untuk mencari nilai x dimana $\tan(x) = 2$ pada interval $0 \le x \le 2\pi$, kita gunakan fungsi arctan:
$x = \arctan(2)$
Nilai ini berada di kuadran pertama. Karena fungsi tangen periodik dengan periode $\pi$, solusi lainnya adalah $x = \arctan(2) + \pi$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x = 0$, $x = \pi$, $x = 2\pi$, $x = \arctan(2)$, dan $x = \arctan(2) + \pi$.

Jawaban:
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos^2(x)+\sin 2x-1=0$ untuk $0 \le x \le 2\pi$ adalah {$0, \pi, 2\pi, \arctan(2), \arctan(2) + \pi$}.