Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x+sin x=0 untuk

{π/2, 7π/6, 11π/6}

Pembahasan

Untuk mencari himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + sin x = 0 untuk 0 < x ≤ 2π, kita perlu mengubah persamaan tersebut agar hanya memuat satu fungsi trigonometri.

Kita gunakan identitas cos 2x = 1 - 2sin²x.
Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
(1 - 2sin²x) + sin x = 0

Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam sin x:
-2sin²x + sin x + 1 = 0
Kalikan dengan -1 untuk membuat koefisien sin²x positif:
2sin²x - sin x - 1 = 0

Misalkan y = sin x, maka persamaan menjadi:
2y² - y - 1 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(2y + 1)(y - 1) = 0

Dari sini kita dapatkan dua kemungkinan nilai untuk y:
1) 2y + 1 = 0  => y = -1/2
2) y - 1 = 0   => y = 1

Sekarang, kita substitusikan kembali y = sin x:
1) sin x = -1/2
Dalam rentang 0 < x ≤ 2π, nilai x yang memenuhi adalah di kuadran III dan IV. Sudut referensinya adalah π/6.
Jadi, x = π + π/6 = 7π/6 dan x = 2π - π/6 = 11π/6.

2) sin x = 1
Dalam rentang 0 < x ≤ 2π, nilai x yang memenuhi adalah x = π/2.

Himpunan penyelesaiannya adalah nilai-nilai x yang memenuhi kedua kondisi tersebut.
Himpunan penyelesaian = {π/2, 7π/6, 11π/6}.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + sin x = 0 untuk 0 < x ≤ 2π adalah {π/2, 7π/6, 11π/6}.