Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x+3 sin 2x=-1

Himpunan penyelesaiannya adalah {$105^\circ, 165^\circ$}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos 4x + 3\sin 2x = -1$ untuk $0 \le x \le 180^\circ$, kita perlu menggunakan identitas trigonometri.

Kita tahu bahwa $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$. Maka, $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$.
Substitusikan ini ke dalam persamaan awal:
$(1 - 2\sin^2 2x) + 3\sin 2x = -1$

Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam $\sin 2x$:
$-2\sin^2 2x + 3\sin 2x + 1 + 1 = 0$
$-2\sin^2 2x + 3\sin 2x + 2 = 0$
Kalikan dengan -1 untuk memudahkan pemfaktoran:
$2\sin^2 2x - 3\sin 2x - 2 = 0$

Misalkan $y = \sin 2x$. Persamaan menjadi:
$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(2y + 1)(y - 2) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $y$:
1. $2y + 1 = 0 \implies y = -1/2$
2. $y - 2 = 0 \implies y = 2$

Karena nilai $\sin \theta$ selalu berada di antara -1 dan 1, maka $\sin 2x = 2$ tidak memiliki solusi.

Kita hanya mempertimbangkan $\sin 2x = -1/2$.
Kita perlu mencari nilai $2x$ di mana sinusnya adalah -1/2. Dalam rentang $0 \le 2x \le 360^\circ$, nilai sinus negatif terdapat di kuadran III dan IV.

Sudut referensi untuk $\sin \alpha = 1/2$ adalah $30^\circ$. 

Di kuadran III: $2x = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ$
Di kuadran IV: $2x = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$

Sekarang kita perlu mencari nilai $x$ dengan membagi nilai $2x$ dengan 2:
1. $x = 210^\circ / 2 = 105^\circ$
2. $x = 330^\circ / 2 = 165^\circ$

Kedua nilai $x$ ini berada dalam rentang yang diminta ($0 \le x \le 180^\circ$).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$105^\circ, 165^\circ$}.