Himpunan penyelesaian dari persamaan cos4x+3sin2x=-1 untuk

Himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°}.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah cos(4x) + 3sin(2x) = -1, dengan interval 0 <= x <= 180 derajat.

Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan persamaan:
cos(4x) = 1 - 2sin²(2x)

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan awal:
(1 - 2sin²(2x)) + 3sin(2x) = -1

Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam sin(2x):
-2sin²(2x) + 3sin(2x) + 1 + 1 = 0
-2sin²(2x) + 3sin(2x) + 2 = 0

Kalikan seluruh persamaan dengan -1 agar koefisien sin²(2x) positif:
2sin²(2x) - 3sin(2x) - 2 = 0

Misalkan P = sin(2x), maka persamaan menjadi:
2P² - 3P - 2 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(2P + 1)(P - 2) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk P:
1. 2P + 1 = 0  => P = -1/2
2. P - 2 = 0   => P = 2

Karena P = sin(2x), dan nilai sinus berada di antara -1 dan 1, maka P = 2 tidak mungkin.
Jadi, kita hanya mempertimbangkan P = -1/2.

sin(2x) = -1/2

Dalam interval 0 <= x <= 180 derajat, maka interval untuk 2x adalah 0 <= 2x <= 360 derajat.
Nilai sinus bernilai negatif di kuadran ketiga dan keempat.

Sudut referensi untuk sin(θ) = 1/2 adalah 30 derajat.

Di kuadran ketiga, 2x = 180 + 30 = 210 derajat.
Di kuadran keempat, 2x = 360 - 30 = 330 derajat.

Sekarang, kita cari nilai x:
Jika 2x = 210, maka x = 210 / 2 = 105 derajat.
Jika 2x = 330, maka x = 330 / 2 = 165 derajat.

Kedua nilai x (105 derajat dan 165 derajat) berada dalam interval yang diberikan (0 <= x <= 180 derajat).

Himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°}.