Himpunan penyelesaian dari persamaan sin (3x+225) + sin

Himpunan penyelesaiannya adalah {10°, 50°, 130°, 170°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sin(3x + 225^\circ) + \sin(3x - 225^\circ) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}}$ untuk $0 \le x \le 180^\circ$, kita dapat menggunakan identitas penjumlahan sinus: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$.

Misalkan $A = 3x + 225^\circ$ dan $B = 3x - 225^\circ$.
Maka, $\frac{A+B}{2} = \frac{(3x + 225^\circ) + (3x - 225^\circ)}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$.
Dan, $\frac{A-B}{2} = \frac{(3x + 225^\circ) - (3x - 225^\circ)}{2} = \frac{450^\circ}{2} = 225^\circ$.

Substitusikan ke dalam identitas:
$2 \sin(3x) \cos(225^\circ) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Kita tahu bahwa $\cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Jadi, persamaan menjadi:
$2 \sin(3x) \left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}$.
$-\sqrt{2} \sin(3x) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Bagi kedua sisi dengan $-\sqrt{2}$:
$\sin(3x) = \frac{1}{2}$.

Untuk $0 \le x \le 180^\circ$, maka rentang untuk $3x$ adalah $0^\circ 
 \le 3x 
 \le 540^\circ$.

Nilai $3x$ yang memenuhi $\sin(3x) = \frac{1}{2}$ dalam rentang ini adalah:
$3x = 30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ$.

Sekarang, bagi dengan 3 untuk mendapatkan nilai $x$:
$x = 10^\circ, 50^\circ, 130^\circ, 170^\circ$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {10°, 50°, 130°, 170°}.