Himpunan penyelesaian dari persamaan (x+2)^(x^2-3x) =

Himpunan penyelesaian: {-3, -1, 3}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan (x+2)^(x^2-3x) = (x+2)^(2x-6), kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus:

Kasus 1: Basis = 1
Jika x + 2 = 1, maka x = -1. Kedua sisi persamaan akan bernilai 1, sehingga x = -1 adalah solusi.

Kasus 2: Basis = -1
Jika x + 2 = -1, maka x = -3. Kita perlu memeriksa apakah eksponennya sama atau keduanya ganjil/genap.
(-3)^2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18 (genap)
2(-3) - 6 = -6 - 6 = -12 (genap)
Karena kedua eksponen adalah genap, maka (-3)^18 = (-3)^(-12), yang mana ini salah.
Namun, jika kita melihat bentuk umum a^b = a^c, maka jika a = -1, kita perlu b dan c memiliki paritas yang sama (keduanya genap atau keduanya ganjil).
Untuk x=-3, eksponen pertama adalah 18 (genap) dan eksponen kedua adalah -12 (genap). Maka, (-3)^18 = (-3)^(-12) adalah BENAR karena (-3)^(-12) = 1/((-3)^12) = 1/(3^12) dan (-3)^18 = 3^18. Jelas ini tidak sama.
Mari kita cek kembali persamaan awalnya: (x+2)^(x^2-3x) = (x+2)^(2x-6).
Jika basisnya -1, maka (-1)^(x^2-3x) = (-1)^(2x-6).
Agar ini benar, eksponennya harus memiliki paritas yang sama.
Untuk x = -3, eksponen pertama: (-3)^2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18 (genap).
Untuk x = -3, eksponen kedua: 2(-3) - 6 = -6 - 6 = -12 (genap).
Karena kedua eksponen genap, maka (-1)^18 = (-1)^(-12) = 1. Jadi x = -3 adalah solusi.

Kasus 3: Eksponen = 0 (dengan basis bukan 0)
Jika x^2 - 3x = 0, maka x(x - 3) = 0, sehingga x = 0 atau x = 3.
Jika x = 0: (0+2)^(0^2-3*0) = 2^0 = 1. Dan (0+2)^(2*0-6) = 2^(-6) = 1/64. Maka 1 = 1/64, ini salah.
Jika x = 3: (3+2)^(3^2-3*3) = 5^(9-9) = 5^0 = 1. Dan (3+2)^(2*3-6) = 5^(6-6) = 5^0 = 1. Maka 1 = 1, ini benar. Jadi x = 3 adalah solusi.

Kasus 4: Basis = 0 (dengan eksponen positif)
Jika x + 2 = 0, maka x = -2.
Kita perlu memeriksa eksponennya.
Untuk x = -2, eksponen pertama: (-2)^2 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 (positif).
Untuk x = -2, eksponen kedua: 2(-2) - 6 = -4 - 6 = -10 (negatif).
Karena salah satu eksponen negatif, maka 0^10 = 0^(-10), yang mana ini tidak terdefinisi dengan baik dalam konteks ini atau 0 = 1/0^10 yang tidak terdefinisi.
Jadi x = -2 bukan solusi.

Kasus 5: Basis = -2
Jika x + 2 = -2, maka x = -4.
(-4+2)^((-4)^2-3(-4)) = (-2)^(16+12) = (-2)^28.
(-4+2)^(2(-4)-6) = (-2)^(-8-6) = (-2)^(-14).
Agar (-2)^28 = (-2)^(-14) benar, kita perlu 28 = -14, yang jelas salah.

Kasus 6: Basis = 2
Jika x+2 = 2, maka x=0.
(0+2)^(0^2-3(0)) = 2^0 = 1
(0+2)^(2(0)-6) = 2^-6 = 1/64
1 = 1/64, ini salah.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-3, -1, 3}.