Volume benda putar yang terbentuk, jika derah yang dibatasi

Volume benda putar adalah (3π^2(π^2 - 6))/16.

Pembahasan

Untuk menghitung volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x cos x pada interval [0, pi/2] yang diputar mengelilingi sumbu X, kita menggunakan metode cakram/cincin. Rumus volume benda putar mengelilingi sumbu X adalah V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 dx.

Dalam kasus ini, f(x) = 3x cos x, a = 0, dan b = pi/2.
Jadi, V = \int_{0}^{\pi/2} \pi (3x cos x)^2 dx
V = \pi \int_{0}^{\pi/2} 9x^2 cos^2 x dx
V = 9\pi \int_{0}^{\pi/2} x^2 cos^2 x dx

Kita perlu menyelesaikan integral \int x^2 cos^2 x dx. Kita bisa menggunakan identitas cos^2 x = (1 + cos(2x))/2.
V = 9\pi \int_{0}^{\pi/2} x^2 \frac{1 + cos(2x)}{2} dx
V = \frac{9\pi}{2} \int_{0}^{\pi/2} (x^2 + x^2 cos(2x)) dx
V = \frac{9\pi}{2} \left[ \int_{0}^{\pi/2} x^2 dx + \int_{0}^{\pi/2} x^2 cos(2x) dx \right]

Hitung integral pertama: \int_{0}^{\pi/2} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{0}^{\pi/2} = \frac{(\pi/2)^3}{3} - 0 = \frac{\pi^3}{24}.

Hitung integral kedua menggunakan integrasi parsial dua kali untuk \int x^2 cos(2x) dx.
Misalkan u = x^2, dv = cos(2x) dx => du = 2x dx, v = \frac{1}{2} sin(2x).
\int x^2 cos(2x) dx = \frac{1}{2} x^2 sin(2x) - \int x sin(2x) dx.

Untuk \int x sin(2x) dx, gunakan integrasi parsial lagi.
Misalkan u = x, dv = sin(2x) dx => du = dx, v = -\frac{1}{2} cos(2x).
\int x sin(2x) dx = -\frac{1}{2} x cos(2x) - \int -\frac{1}{2} cos(2x) dx
= -\frac{1}{2} x cos(2x) + \frac{1}{2} \int cos(2x) dx
= -\frac{1}{2} x cos(2x) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin(2x))
= -\frac{1}{2} x cos(2x) + \frac{1}{4} sin(2x).

Substitusikan kembali:
\int x^2 cos(2x) dx = \frac{1}{2} x^2 sin(2x) - (-\frac{1}{2} x cos(2x) + \frac{1}{4} sin(2x))
= \frac{1}{2} x^2 sin(2x) + \frac{1}{2} x cos(2x) - \frac{1}{4} sin(2x).

Evaluasi integral kedua pada batas [0, pi/2]:
[\frac{1}{2} x^2 sin(2x) + \frac{1}{2} x cos(2x) - \frac{1}{4} sin(2x)]_{0}^{\pi/2}
At x = pi/2:
\frac{1}{2} (\frac{\pi}{2})^2 sin(\pi) + \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2}) cos(\pi) - \frac{1}{4} sin(\pi)
= \frac{1}{2} \frac{\pi^2}{4} (0) + \frac{\pi}{4} (-1) - \frac{1}{4} (0)
= -\frac{\pi}{4}.

At x = 0:
\frac{1}{2} (0)^2 sin(0) + \frac{1}{2} (0) cos(0) - \frac{1}{4} sin(0)
= 0 + 0 - 0 = 0.

Jadi, \int_{0}^{\pi/2} x^2 cos(2x) dx = -\frac{\pi}{4} - 0 = -\frac{\pi}{4}.

Sekarang substitusikan hasil kedua integral ke dalam rumus volume:
V = \frac{9\pi}{2} \left[ \frac{\pi^3}{24} + (-\frac{\pi}{4}) \right]
V = \frac{9\pi}{2} \left[ \frac{\pi^3}{24} - \frac{6\pi}{24} \right]
V = \frac{9\pi}{2} \left[ \frac{\pi^3 - 6\pi}{24} \right]
V = \frac{9\pi^2 (\pi^2 - 6)}{48}
V = \frac{3\pi^2 (\pi^2 - 6)}{16}.

Oleh karena nilai \pi^2 kira-kira 9.87, maka \pi^2 - 6 adalah positif. Hasilnya adalah volume benda putar.