Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x^2-5x-14)/(x+5)

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < -5 atau -2 < x < 7}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\frac{x^2 - 5x - 14}{x + 5} < 0\), kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut, lalu menentukan interval di mana ekspresi tersebut bernilai negatif.

1. Cari akar-akar pembilang: \(x^2 - 5x - 14 = 0\)
Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
\((x - 7)(x + 2) = 0\)
Jadi, akar-akarnya adalah \(x = 7\) dan \(x = -2\).

2. Cari akar-akar penyebut: \(x + 5 = 0\)
Jadi, akar penyebutnya adalah \(x = -5\). Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh nol, sehingga \(x \neq -5\).

3. Tentukan interval menggunakan garis bilangan:
Kita memiliki titik-titik kritis -5, -2, dan 7. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi empat interval: \((-\infty, -5)\), \((-5, -2)\), \((-2, 7)\), dan \((7, \infty)\).

Kita uji tanda ekspresi \(\frac{(x - 7)(x + 2)}{x + 5}\) di setiap interval:

*   Interval \((-\infty, -5)\): Pilih \(x = -6\).
    \(\frac{(-6 - 7)(-6 + 2)}{-6 + 5} = \frac{(-13)(-4)}{-1} = \frac{52}{-1} = -52\) (Negatif)

*   Interval \((-5, -2)\): Pilih \(x = -3\).
    \(\frac{(-3 - 7)(-3 + 2)}{-3 + 5} = \frac{(-10)(-1)}{2} = \frac{10}{2} = 5\) (Positif)

*   Interval \((-2, 7)\): Pilih \(x = 0\).
    \(\frac{(0 - 7)(0 + 2)}{0 + 5} = \frac{(-7)(2)}{5} = \frac{-14}{5}\) (Negatif)

*   Interval \((7, \infty)\): Pilih \(x = 8\).
    \(\frac{(8 - 7)(8 + 2)}{8 + 5} = \frac{(1)(10)}{13} = \frac{10}{13}\) (Positif)

Kita mencari interval di mana ekspresi bernilai kurang dari 0 (negatif). Dari pengujian di atas, interval yang memenuhi adalah \((-\infty, -5)\) dan \((-2, 7)\).

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah \(x < -5\) atau \(-2 < x < 7\).