Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:{2x+y-z=2

(2, -1, 1)

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:
1. \( 2x + y - z = 2 \)
2. \( 3x - 2y + z = 9 \)
3. \( x + 2y + 3z = 3 \)

Kita akan menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menemukan himpunan penyelesaiannya.

Langkah 1: Eliminasi \( z \) dari persamaan (1) dan (2).
Tambahkan persamaan (1) dan (2):
   \( (2x + y - z) + (3x - 2y + z) = 2 + 9 \)
   \( 5x - y = 11 \) ... (Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi \( z \) dari persamaan (1) dan (3).
Kalikan persamaan (1) dengan 3:
   \( 3(2x + y - z) = 3(2) \)
   \( 6x + 3y - 3z = 6 \) ... (Persamaan 1')
Tambahkan persamaan (1') dan (3):
   \( (6x + 3y - 3z) + (x + 2y + 3z) = 6 + 3 \)
   \( 7x + 5y = 9 \) ... (Persamaan 5)

Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel dari Persamaan (4) dan (5).
Kita punya:
4. \( 5x - y = 11 \)
5. \( 7x + 5y = 9 \)

Dari Persamaan (4), kita bisa nyatakan \( y \) dalam \( x \):
   \( y = 5x - 11 \)

Substitusikan \( y \) ini ke dalam Persamaan (5):
   \( 7x + 5(5x - 11) = 9 \)
   \( 7x + 25x - 55 = 9 \)
   \( 32x = 9 + 55 \)
   \( 32x = 64 \)
   \( x = \frac{64}{32} \)
   \( x = 2 \)

Langkah 4: Substitusikan nilai \( x = 2 \) kembali ke Persamaan (4) untuk mencari \( y \).
   \( y = 5x - 11 \)
   \( y = 5(2) - 11 \)
   \( y = 10 - 11 \)
   \( y = -1 \)

Langkah 5: Substitusikan nilai \( x = 2 \) dan \( y = -1 \) ke salah satu persamaan awal (misalnya Persamaan 1) untuk mencari \( z \).
   \( 2x + y - z = 2 \)
   \( 2(2) + (-1) - z = 2 \)
   \( 4 - 1 - z = 2 \)
   \( 3 - z = 2 \)
   \( z = 3 - 2 \)
   \( z = 1 \)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \( x = 2, y = -1, z = 1 \). Kita bisa menuliskannya sebagai \( (2, -1, 1) \).