Diketahui fungsi f yang f(x) = integral 1 x u/(akar(1+u^2))

a. Naik pada (0, ∠infinity). b. Tidak pernah turun. c. Cekung ke atas pada [0, ∠infinity).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana grafik fungsi y = f(x) naik, turun, dan cekung ke atas, kita perlu menganalisis turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x).

Fungsi yang diberikan adalah f(x) = integral dari u/(akar(1+u^2)) du, dari 1 sampai x, dengan x >= 0.

Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus, turunan pertama f(x) adalah f'(x) = x/(akar(1+x^2)).

a. Interval naik:
Grafik f(x) naik ketika f'(x) > 0. Karena akar(1+x^2) selalu positif untuk semua x real, dan kita diberi batasan x >= 0, maka x/(akar(1+x^2)) > 0 ketika x > 0. Jadi, f(x) naik pada interval (0, âˆ
infinity).

b. Interval turun:
Grafik f(x) turun ketika f'(x) < 0. Untuk x >= 0, f'(x) = x/(akar(1+x^2)) tidak pernah negatif. Jadi, f(x) tidak pernah turun pada domain yang diberikan.

c. Interval cekung ke atas:
Untuk menentukan kek cekungan, kita perlu mencari turunan kedua, f''(x).
Turunan dari f'(x) = x/(akar(1+x^2)) menggunakan aturan kuosien:
f''(x) = [ (1 * akar(1+x^2)) - (x * (1/2 * (1+x^2)^(-1/2) * 2x)) ] / (1+x^2)
f''(x) = [ akar(1+x^2) - (x^2 / akar(1+x^2)) ] / (1+x^2)
f''(x) = [ ((1+x^2) - x^2) / akar(1+x^2) ] / (1+x^2)
f''(x) = 1 / ((1+x^2) * akar(1+x^2))
f''(x) = 1 / (1+x^2)^(3/2)

Grafik f(x) cekung ke atas ketika f''(x) > 0. Karena (1+x^2)^(3/2) selalu positif untuk semua x real, maka f''(x) selalu positif. Jadi, grafik y = f(x) cekung ke atas pada seluruh domainnya, yaitu untuk x >= 0, atau interval [0, âˆ
infinity).