Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 7/x-4.y=2

Dengan asumsi typo pada soal (seharusnya 4/y), nilai 6x1y1 adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear 7/x - 4y = 2 dan 6/x + 3/y = 21, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Pertama, mari kita ubah bentuk persamaan agar lebih mudah dikerjakan. Misalkan P = 1/x dan Q = y. Maka persamaan pertama menjadi 7P - 4Q = 2. Persamaan kedua tidak dapat langsung diubah ke bentuk P dan Q karena ada 3/y. Mari kita ubah persamaan kedua menjadi 6/x + 3/y = 21.  Mari kita kembali ke bentuk asli. Kita bisa mengalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 4 untuk mengeliminasi variabel y, tetapi ini akan menjadi rumit karena ada konstanta di pembilang dan penyebut.  Cara yang lebih baik adalah dengan mengalikan kedua persamaan dengan xy untuk menghilangkan penyebut, namun ini akan menghasilkan persamaan kuadrat.  Mari kita coba metode substitusi dengan mengisolasi salah satu variabel. Dari persamaan pertama: 7/x = 2 + 4y => 7 = x(2 + 4y) => x = 7 / (2 + 4y).  Substitusikan x ini ke persamaan kedua: 6 / (7 / (2 + 4y)) + 3/y = 21 => 6(2 + 4y) / 7 + 3/y = 21. Kalikan seluruhnya dengan 7y: 6y(2 + 4y) + 3(7) = 21(7y) => 12y + 24y^2 + 21 = 147y. Pindahkan semua ke satu sisi: 24y^2 + 12y - 147y + 21 = 0 => 24y^2 - 135y + 21 = 0. Bagi dengan 3: 8y^2 - 45y + 7 = 0. Gunakan rumus kuadrat untuk y: y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a. y = [45 ± sqrt((-45)^2 - 4(8)(7))] / (2*8) => y = [45 ± sqrt(2025 - 224)] / 16 => y = [45 ± sqrt(1801)] / 16.  Ini memberikan nilai y yang rumit. Mari kita coba metode lain. Misalkan 1/x = A dan 1/y = B. Maka 7A - 4(1/y) = 2  dan 6A + 3B = 21. Ini masih belum benar karena persamaan pertama bukan 7A - 4B = 2. Persamaan pertama adalah 7/x - 4y = 2. Persamaan kedua adalah 6/x + 3/y = 21.  Mari kita gunakan substitusi: 1/x = A, 1/y = B.  Maka 7A - 4y = 2  dan 6A + 3B = 21.  Ini masih belum bisa diselesaikan dengan mudah karena ada variabel y yang tidak tersubstitusi. Mari kita coba isolasi 1/x dari kedua persamaan. Dari persamaan 1: 7/x = 2 + 4y => 1/x = (2 + 4y) / 7. Dari persamaan 2: 6/x = 21 - 3/y => 1/x = (21 - 3/y) / 6. Sekarang samakan kedua ekspresi untuk 1/x: (2 + 4y) / 7 = (21 - 3/y) / 6. Kalikan silang: 6(2 + 4y) = 7(21 - 3/y) => 12 + 24y = 147 - 21/y. Kalikan dengan y: 12y + 24y^2 = 147y - 21. Pindahkan semua ke satu sisi: 24y^2 + 12y - 147y + 21 = 0 => 24y^2 - 135y + 21 = 0. Bagi dengan 3: 8y^2 - 45y + 7 = 0. Kita sudah sampai sini sebelumnya.  Mari kita cek kembali soal. Sepertinya ada kesalahan dalam asumsi atau soalnya. Jika kita mengasumsikan bahwa persamaan kedua seharusnya 6/x + 3/y = 21, dan kita sudah mendapatkan persamaan kuadrat untuk y, mari kita coba selesaikan. Namun, jika kita diminta mencari 6x1y1, mungkin ada cara yang lebih langsung.  Mari kita gunakan substitusi A=1/x dan B=1/y pada persamaan kedua saja: 6A + 3B = 21.  Jika kita mengasumsikan bentuk soal yang lebih standar, misalnya 7/x - 4/y = 2 dan 6/x + 3/y = 21. Maka kita bisa menggunakan substitusi A=1/x dan B=1/y. Sistemnya menjadi: 7A - 4B = 2 dan 6A + 3B = 21. Kalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 4: 21A - 12B = 6 dan 24A + 12B = 84. Jumlahkan kedua persamaan: 45A = 90 => A = 2. Substitusikan A=2 ke 6A + 3B = 21: 6(2) + 3B = 21 => 12 + 3B = 21 => 3B = 9 => B = 3. Maka 1/x = 2 => x = 1/2. Dan 1/y = 3 => y = 1/3.  Nilai dari 6x1y1 = 6 * (1/2) * (1/3) = 6 * (1/6) = 1.  Namun, jika soalnya persis seperti yang tertulis: 7/x - 4y = 2 dan 6/x + 3/y = 21, maka penyelesaiannya akan sangat kompleks dan kemungkinan besar menghasilkan jawaban yang tidak sederhana. Mengingat format soal ujian, kemungkinan besar ada typo dan seharusnya 4/y bukan 4y. Dengan asumsi typo tersebut, jawabannya adalah 1.