Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 5x+3y>=15;

3

Pembahasan

Untuk mencari jumlah titik sudut, kita perlu menentukan titik-titik potong dari garis-garis pembatas:
1. 5x + 3y = 15
2. x + 2y = 6
3. x = 0 (sumbu y)
4. y = 0 (sumbu x)

Titik potong sumbu x (y=0):
Dari (1): 5x = 15 => x = 3. Titik (3, 0).
Dari (2): x = 6. Titik (6, 0).

Titik potong sumbu y (x=0):
Dari (1): 3y = 15 => y = 5. Titik (0, 5).
Dari (2): 2y = 6 => y = 3. Titik (0, 3).

Titik potong antara (1) dan (2):
Kalikan persamaan (2) dengan 5: 5x + 10y = 30
Kurangkan persamaan (1) dari hasil ini:
(5x + 10y) - (5x + 3y) = 30 - 15
7y = 15
y = 15/7
Substitusikan y ke persamaan (2):
x + 2(15/7) = 6
x + 30/7 = 42/7
x = 12/7. Titik (12/7, 15/7).

Sekarang kita perlu menentukan titik sudut mana yang memenuhi semua pertidaksamaan:
5x + 3y >= 15
x + 2y >= 6
x >= 0
y >= 0

Titik (3, 0): 5(3)+3(0)=15>=15 (Benar), 3+2(0)=3>=6 (Salah)
Titik (6, 0): 5(6)+3(0)=30>=15 (Benar), 6+2(0)=6>=6 (Benar), 6>=0 (Benar), 0>=0 (Benar). Titik (6, 0) adalah titik sudut.
Titik (0, 5): 5(0)+3(5)=15>=15 (Benar), 0+2(5)=10>=6 (Benar), 0>=0 (Benar), 5>=0 (Benar). Titik (0, 5) adalah titik sudut.
Titik (0, 3): 5(0)+3(3)=9>=15 (Salah)
Titik (12/7, 15/7): 
5(12/7)+3(15/7) = 60/7 + 45/7 = 105/7 = 15 >= 15 (Benar)
12/7 + 2(15/7) = 12/7 + 30/7 = 42/7 = 6 >= 6 (Benar)
12/7 >= 0 (Benar)
15/7 >= 0 (Benar). Titik (12/7, 15/7) adalah titik sudut.

Titik potong sumbu y dan garis x+2y=6 adalah (0,3). Periksa apakah memenuhi 5x+3y>=15: 5(0)+3(3)=9>=15 (Salah).
Titik potong sumbu x dan garis 5x+3y=15 adalah (3,0). Periksa apakah memenuhi x+2y>=6: 3+2(0)=3>=6 (Salah).

Himpunan penyelesaian dibatasi oleh x=0, y=0, 5x+3y=15, dan x+2y=6. Titik sudut yang memenuhi adalah perpotongan dari:
1. x=0 dan 5x+3y=15 => (0,5)
2. x=0 dan x+2y=6 => (0,3). Namun, (0,3) tidak memenuhi 5x+3y>=15.
3. y=0 dan 5x+3y=15 => (3,0). Namun, (3,0) tidak memenuhi x+2y>=6.
4. y=0 dan x+2y=6 => (6,0)
5. 5x+3y=15 dan x+2y=6 => (12/7, 15/7)

Kita juga perlu mempertimbangkan perpotongan sumbu koordinat dengan batas.
Perpotongan sumbu x dengan batas: y=0.
5x >= 15 => x >= 3
x >= 6
Jadi, batas pada sumbu x adalah x=6. Titik sudutnya adalah (6,0).
Perpotongan sumbu y dengan batas: x=0.
3y >= 15 => y >= 5
2y >= 6 => y >= 3
Jadi, batas pada sumbu y adalah y=5. Titik sudutnya adalah (0,5).

Titik sudut yang memenuhi adalah (6,0), (0,5), dan (12/7, 15/7).
Jumlah titik sudutnya adalah 3.