Himpunan penyelesaian persamaan 2cos^2 x-cos x-1=0 untuk

\(\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi\}\)

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\) untuk \(0 \le x \le 2\pi\).

Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk \(\cos x\). Mari kita substitusi \(u = \cos x\).
\(2u^2 - u - 1 = 0\)

Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
\((2u + 1)(u - 1) = 0\)

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk \(u\):
1.  \(2u + 1 = 0 \implies 2u = -1 \implies u = -\frac{1}{2}\)
2.  \(u - 1 = 0 \implies u = 1\)

Sekarang, kita substitusikan kembali \(u = \cos x\):
1.  \(\cos x = -\frac{1}{2}\)
    Dalam interval \(0 \le x \le 2\pi\), nilai \(x\) di mana \(\cos x = -\frac{1}{2}\) adalah di kuadran II dan III. Nilai referensinya adalah \(\frac{\pi}{3}\).
    *   Kuadran II: \(x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\)
    *   Kuadran III: \(x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}\)

2.  \(\cos x = 1\)
    Dalam interval \(0 \le x 
k\le 2\pi\), nilai \(x\) di mana \(\cos x = 1\) adalah \(x = 0\) dan \(x = 2\pi\).

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\) untuk \(0 \le x \le 2\pi\) adalah \(\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi\}\).