Himpunan penyelesaian persamaan -3cos+3^(1/2)sinx = 2

Himpunan penyelesaiannya adalah {7phi/6}.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri $-3
pm{	ext{cos}}x + 
pm{3}^{1/2}
pm{sin}x = 2
pm{3}^{1/2}$ untuk $0 
less x 
less 2
pm{	ext{phi}}$. Persamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk $R
pm{sin}(x - 
pm{alpha}) = k$ atau $R
pm{cos}(x + 
pm{alpha}) = k$. Mari kita gunakan bentuk $R
pm{cos}(x + 
pm{alpha})$. Persamaan umum $A
pm{cos}x + B
pm{sin}x = C$. Di sini, $A = -3$, $B = 
pm{3}^{1/2}$, $C = 2
pm{3}^{1/2}$. Kita cari $R = 
pm{sqrt}}{A^2 + B^2} = 
pm{sqrt}}{(-3)^2 + (
pm{3}^{1/2})^2} = 
pm{sqrt}}{9 + 3} = 
pm{sqrt}}{12} = 2
pm{sqrt}}{3}$.  Kemudian kita cari $
pm{alpha}$ sedemikian rupa sehingga $
pm{cos}
pm{alpha} = A/R = -3/(2
pm{sqrt}}{3}) = -
pm{3}^{1/2}/2$ dan $
pm{sin}
pm{alpha} = B/R = 
pm{3}^{1/2}/(2
pm{sqrt}}{3}) = 1/2$. Sudut $
pm{alpha}$ yang memenuhi $
pm{sin}
pm{alpha} = 1/2$ dan $
pm{cos}
pm{alpha} = -
pm{3}^{1/2}/2$ adalah $
pm{alpha} = 5
pm{phi}/6$ (di kuadran II). Jadi, persamaan dapat ditulis sebagai $2
pm{3}^{1/2}
pm{cos}(x + 5
pm{phi}/6) = 2
pm{3}^{1/2}$.  Ini menyederhanakan menjadi $
pm{cos}(x + 5
pm{phi}/6) = 1$.  Solusi umum untuk $
pm{cos}
pm{theta} = 1$ adalah $
pm{theta} = 2n
pm{phi}$, di mana $n$ adalah bilangan bulat. Jadi, $x + 5
pm{phi}/6 = 2n
pm{phi}$.  Ini memberikan $x = 2n
pm{phi} - 5
pm{phi}/6$.  Kita perlu mencari nilai $x$ dalam interval $0 
less x 
less 2
pm{phi}$.  Jika $n = 1$, $x = 2
pm{phi} - 5
pm{phi}/6 = 12
pm{phi}/6 - 5
pm{phi}/6 = 7
pm{phi}/6$.  Jika $n = 0$, $x = -5
pm{phi}/6$, yang berada di luar interval. Jika $n = 2$, $x = 4
pm{phi} - 5
pm{phi}/6 = 24
pm{phi}/6 - 5
pm{phi}/6 = 19
pm{phi}/6$, yang juga di luar interval.  Jadi, satu-satunya solusi dalam interval adalah $x = 7
pm{phi}/6$.  Mari kita cek jawaban yang diberikan: a.{1phi/6} b.{4phi/6} c.{5phi/6} d.{7phi/6} e.{11phi/6}. Jawaban yang kita dapatkan adalah $7
pm{phi}/6$, yang sesuai dengan pilihan d.