Himpunan penyelesaian persamaan sin (x+(pi)/(6)) cos

{0°, 60°, 180°, 240°}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan sin (x+(pi)/(6)) cos x=(1)/(2)  untuk 0 <= x <= 360 derajat (atau 0 <= x <= 2pi radian), kita dapat menggunakan identitas trigonometri. Namun, persamaannya cukup kompleks untuk diselesaikan secara langsung dengan identitas dasar.

Mari kita coba gunakan identitas penjumlahan sinus: sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB.
Dalam kasus ini, A=x dan B=pi/6.
sin(x + pi/6) = sin x cos(pi/6) + cos x sin(pi/6)
sin(x + pi/6) = sin x (sqrt(3)/2) + cos x (1/2)

Substitusikan kembali ke persamaan awal:
[sin x (sqrt(3)/2) + cos x (1/2)] cos x = 1/2
(sqrt(3)/2) sin x cos x + (1/2) cos^2 x = 1/2

Kalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menyederhanakan:
sqrt(3) sin x cos x + cos^2 x = 1

Kita tahu bahwa sin(2x) = 2 sin x cos x, jadi sin x cos x = sin(2x)/2.
Dan cos^2 x = (1 + cos(2x))/2.

Substitusikan identitas ini:
sqrt(3) (sin(2x)/2) + (1 + cos(2x))/2 = 1

Kalikan dengan 2:
sqrt(3) sin(2x) + 1 + cos(2x) = 2

Susun ulang persamaan:
sqrt(3) sin(2x) + cos(2x) = 1

Ini adalah bentuk persamaan trigonometri R sin(2x + alpha). Kita bisa mengubahnya ke bentuk A sin(omega t) + B cos(omega t) = C.
Di sini A = sqrt(3), B = 1, C = 1, omega = 2.

R = sqrt(A^2 + B^2) = sqrt((sqrt(3))^2 + 1^2) = sqrt(3 + 1) = sqrt(4) = 2.

Untuk mencari sudut alpha, kita gunakan tan(alpha) = B/A = 1/sqrt(3). Maka alpha = pi/6 (atau 30 derajat).

Sehingga persamaan menjadi:
2 sin(2x + pi/6) = 1
sin(2x + pi/6) = 1/2

Kita tahu bahwa sin theta = 1/2 ketika theta = pi/6 (30 derajat) atau theta = 5pi/6 (150 derajat).

Kasus 1: 2x + pi/6 = pi/6 + 2k pi
2x = 2k pi
x = k pi
Untuk k=0, x=0.
Untuk k=1, x=pi (180 derajat).

Kasus 2: 2x + pi/6 = 5pi/6 + 2k pi
2x = 5pi/6 - pi/6 + 2k pi
2x = 4pi/6 + 2k pi
2x = 2pi/3 + 2k pi
x = pi/3 + k pi
Untuk k=0, x=pi/3 (60 derajat).
Untuk k=1, x=pi/3 + pi = 4pi/3 (240 derajat).

Jadi, himpunan penyelesaian untuk 0 <= x <= 360 derajat adalah {0, 60, 180, 240} derajat.