Himpunan penyelesaian persamaan (x - 3)^(2x-1) = (x -

{2, 3, 4}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $(x - 3)^{2x-1} = (x - 3)^{x+1}$, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus:

**Kasus 1: Basis sama dengan 1**
Jika basisnya adalah 1, maka $1^a = 1^b$ selalu benar.
$x - 3 = 1$
$x = 4$

**Kasus 2: Basis sama dengan -1**
Jika basisnya adalah -1, maka persamaan benar jika kedua eksponen memiliki paritas yang sama (keduanya genap atau keduanya ganjil).
$x - 3 = -1$
$x = 2$
Mari kita periksa eksponennya untuk $x = 2$:
Eksponen kiri: $2x - 1 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$ (ganjil)
Eksponen kanan: $x + 1 = 2 + 1 = 3$ (ganjil)
Karena kedua eksponen ganjil, $x = 2$ adalah solusi.

**Kasus 3: Eksponen sama dengan 0**
Jika eksponennya adalah 0, maka $a^0 = b^0 = 1$ (selama basisnya tidak nol).
Kita perlu memeriksa dua kondisi eksponen yang sama dengan 0:
*   $2x - 1 = 0 
    2x = 1
    x = 1/2$
    Jika $x = 1/2$, basisnya adalah $1/2 - 3 = -5/2$. $(-5/2)^0 = 1$. Eksponen kanan adalah $1/2 + 1 = 3/2$. $(-5/2)^{3/2}$ tidak terdefinisi dalam bilangan real, jadi $x=1/2$ bukan solusi.
*   $x + 1 = 0
    x = -1$
    Jika $x = -1$, basisnya adalah $-1 - 3 = -4$. Eksponen kiri adalah $2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$. Eksponen kanan adalah $-1 + 1 = 0$. Persamaannya menjadi $(-4)^{-3} = (-4)^0$. Ini berarti $1/(-4)^3 = 1$, yang salah.

**Kasus 4: Basis sama dan eksponen sama**
Kita perlu menyelesaikan $2x - 1 = x + 1$ dan memastikan basisnya tidak nol.
$2x - x = 1 + 1$
$x = 2$
Kita sudah menemukan ini di Kasus 2.

**Kasus 5: Persamaan asli jika basisnya sama**
Kita perlu menyelesaikan $2x - 1 = x + 1$ ketika basisnya sama, yaitu $x-3$. Ini menghasilkan $x=2$. 
Kita juga perlu mempertimbangkan jika basis $x-3$ sama dengan 0 dan eksponennya sama-sama positif.
Jika $x=3$, basisnya adalah $3-3=0$. Eksponen kiri adalah $2(3)-1 = 5$. Eksponen kanan adalah $3+1 = 4$. $0^5 = 0^4$ berarti $0=0$. Jadi $x=3$ adalah solusi.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3, 4}.

*   **Jawaban Ringkas:** Himpunan penyelesaian persamaan $(x - 3)^{2x-1} = (x - 3)^{x+1}$ adalah {2, 3, 4}.