Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui panjang tali

Besar sudut BOC adalah 120° - arccos(1/3).

Pembahasan

Untuk menghitung besar sudut BOC, kita dapat menggunakan sifat-sifat segitiga dan sudut.
Diketahui:
Panjang tali busur AB = 6 cm
Panjang AC = 4 cm
Sudut AOB = 120 derajat

Karena O adalah pusat lingkaran dan AB adalah tali busur, maka segitiga AOB adalah segitiga sama kaki dengan OA = OB (jari-jari lingkaran).

Kita bisa mencari jari-jari lingkaran (r) menggunakan aturan kosinus pada segitiga AOB:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(AOB)
6^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos(120°)
36 = 2r^2 - 2r^2 * (-1/2)
36 = 2r^2 + r^2
36 = 3r^2
r^2 = 12
r = sqrt(12) = 2*sqrt(3) cm

Jadi, jari-jari lingkaran adalah 2*sqrt(3) cm. Maka, OA = OB = OC = 2*sqrt(3) cm.

Sekarang kita tinjau segitiga AOC. Kita memiliki panjang sisi OA = 2*sqrt(3) cm, OC = 2*sqrt(3) cm, dan AC = 4 cm.
Kita bisa mencari sudut AOC menggunakan aturan kosinus pada segitiga AOC:
AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 * OA * OC * cos(AOC)
4^2 = (2*sqrt(3))^2 + (2*sqrt(3))^2 - 2 * (2*sqrt(3)) * (2*sqrt(3)) * cos(AOC)
16 = 12 + 12 - 2 * 12 * cos(AOC)
16 = 24 - 24 * cos(AOC)
24 * cos(AOC) = 24 - 16
24 * cos(AOC) = 8
cos(AOC) = 8/24
cos(AOC) = 1/3

Sudut AOC = arccos(1/3)

Kita tahu bahwa sudut dalam satu lingkaran penuh adalah 360 derajat. Sudut-sudut yang berpusat di O adalah sudut AOB, sudut BOC, dan sudut AOC (jika titik-titiknya berurutan). Namun, dari gambar (yang tidak disertakan, namun diasumsikan dari penamaan sudut), sudut BOC bisa jadi merupakan selisih atau jumlah dari sudut-sudut lain. Jika A, B, C terletak pada busur yang berbeda dari pusat O:

Sudut pusat yang menghadap busur yang sama adalah dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Atau, jumlah sudut-sudut pusat yang membentuk satu putaran adalah 360 derajat.

Asumsi yang paling mungkin adalah titik A, B, dan C berada pada keliling lingkaran, dan O adalah pusatnya. Sudut AOB dan BOC adalah sudut pusat. Jika A, B, C berurutan pada busur:
Sudut AOC = Sudut AOB + Sudut BOC
atau
Sudut BOC = Sudut AOC - Sudut AOB (jika B di antara A dan C dalam urutan tertentu).

Namun, informasi 'panjang tali busur AB' dan 'panjang AC' serta 'm sudut AOB' mengindikasikan kita berurusan dengan segitiga yang dibentuk oleh jari-jari dan tali busur.

Jika kita mengasumsikan urutan titik pada lingkaran adalah A, B, C:
Sudut AOC = Sudut AOB + Sudut BOC

Kita perlu mencari Sudut BOC. Jika titik-titik berada dalam urutan A, C, B, maka:
Sudut AOB = Sudut AOC + Sudut COB

Mari kita gunakan informasi yang ada. Kita tahu sudut AOB = 120 derajat. Kita juga menghitung sudut AOC = arccos(1/3).

Jika titik B berada di antara A dan C (dalam urutan busur), maka Sudut AOC = Sudut AOB + Sudut BOC. Ini tidak mungkin karena Sudut AOC = arccos(1/3) ≈ 70.5 derajat, yang lebih kecil dari Sudut AOB = 120 derajat.

Jadi, kemungkinan besar adalah titik C berada di antara A dan B, atau urutannya A, C, B.
Dalam kasus ini, Sudut AOB = Sudut AOC + Sudut COB (atau BOC).
120° = arccos(1/3) + Sudut BOC
Sudut BOC = 120° - arccos(1/3)
Sudut BOC ≈ 120° - 70.5°
Sudut BOC ≈ 49.5°

Alternatif lain, jika urutan titik adalah A, B, C, maka Sudut AOC adalah sudut yang lebih besar, dan Sudut BOC adalah bagian darinya. Namun, dari data yang diberikan, ini tidak konsisten.

Mari kita periksa apakah segitiga AOC bisa terbentuk seperti itu. OA=OC=2*sqrt(3), AC=4. cos(AOC)=1/3. Ini valid.

Jika kita mempertimbangkan sudut refleks, itu akan menjadi kemungkinan lain, tapi biasanya sudut pusat yang dimaksud adalah sudut kurang dari 180 derajat kecuali dinyatakan lain.

Kemungkinan lain adalah A, B, C tidak berurutan sedemikian rupa sehingga sudut dijumlahkan langsung. Kita perlu melihat diagramnya. Tanpa diagram, kita membuat asumsi.

Asumsi yang paling masuk akal adalah bahwa sudut-sudut pusat tersebut bersebelahan atau membentuk bagian dari lingkaran.

Jika kita mengasumsikan bahwa titik A, B, dan C berada pada busur lingkaran sedemikian rupa sehingga Sudut AOB dan Sudut BOC adalah sudut yang berdekatan dan membentuk Sudut AOC atau Sudut yang lebih besar.

Kita memiliki Sudut AOB = 120°. Kita perlu mencari Sudut BOC.
Kita telah menghitung jari-jari r = 2√3 cm.

Sekarang kita perhatikan segitiga BOC. OB = OC = r = 2√3 cm. Kita perlu informasi tentang sisi BC atau sudut lain untuk menghitung Sudut BOC.

Informasi yang diberikan adalah panjang tali busur AB = 6 cm, panjang AC = 4 cm, dan m sudut AOB = 120°.

Kita sudah gunakan AB dan AOB untuk mencari jari-jari. Kita sudah gunakan AC dan jari-jari untuk mencari sudut AOC.

Jika A, O, C membentuk segitiga, dan A, O, B membentuk segitiga, maka sudut BOC adalah sudut yang tersisa.

Sudut AOC = arccos(1/3) ≈ 70.53°.
Sudut AOB = 120°.

Jika kita mengasumsikan bahwa titik B terletak di antara busur AC (yaitu, kita bergerak dari A ke C lalu ke B), maka Sudut AOC + Sudut COB = Sudut AOB. Ini tidak mungkin karena 70.53° + Sudut COB = 120°, sehingga Sudut COB = 49.47°.

Jika kita mengasumsikan bahwa titik C terletak di antara busur AB (yaitu, kita bergerak dari A ke B lalu ke C), maka Sudut AOB + Sudut BOC = Sudut AOC. Ini juga tidak mungkin karena 120° + Sudut BOC = 70.53°.

Kemungkinan lain adalah titik A berada di antara busur BC. Maka Sudut BOC = Sudut BOA + Sudut AOC. Ini juga tidak masuk akal karena kedua sudut positif.

Yang paling masuk akal adalah sudut-sudut tersebut membentuk sudut yang lebih besar atau kita perlu mempertimbangkan sudut di luar segitiga. Namun, dari konteks soal geometri, biasanya sudut pusat yang dimaksud adalah sudut kurang dari 180 derajat jika tidak disebutkan lain.

Mari kita coba pendekatan lain: jika kita mengasumsikan bahwa titik A, B, dan C berada pada lingkaran, dan sudut-sudut pusat yang diberikan adalah sudut-sudut yang membentuk busur.

Jika urutan titik pada lingkaran adalah A, B, C:
Busur AB -> Sudut AOB = 120°
Busur BC -> Sudut BOC = ?
Busur AC -> Sudut AOC = arccos(1/3) ≈ 70.53°

Dalam kasus ini, Sudut AOC = Sudut AOB + Sudut BOC (jika O di dalam sudut ABC, ini tidak mungkin karena O adalah pusat). Jika busur AC adalah jumlah busur AB dan busur BC, maka sudut pusatnya juga akan dijumlahkan.

Ini berarti Sudut AOC = Sudut AOB + Sudut BOC. Tetapi 70.53° = 120° + Sudut BOC, yang menghasilkan nilai negatif untuk Sudut BOC, yang tidak mungkin.

Oleh karena itu, urutan titik harus berbeda. Kemungkinan besar C berada di antara A dan B pada busur.

Jadi, urutan busurnya adalah A, C, B.
Busur AB = Busur AC + Busur CB
Sudut AOB = Sudut AOC + Sudut COB
120° = arccos(1/3) + Sudut COB
Sudut COB = 120° - arccos(1/3)
Sudut COB ≈ 120° - 70.53°
Sudut COB ≈ 49.47°

Jadi, besar sudut BOC adalah sekitar 49.47 derajat.

Kita akan memberikan jawaban dalam bentuk eksak jika memungkinkan.
Sudut BOC = 120° - arccos(1/3).
Ini adalah jawaban yang paling logis berdasarkan informasi yang diberikan, dengan asumsi urutan titik A, C, B pada busur lingkaran.