Himpunan penyelesaian pertidak- samaan 2 log x<=log (2x +

{x | 0 < x <= 10}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma 2 log x <= log (2x + 5) + 2 log 2, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan domain logaritma:**
    Agar logaritma terdefinisi, argumennya harus positif.
    - x > 0
    - 2x + 5 > 0  => 2x > -5 => x > -5/2
    Menggabungkan kedua syarat, domainnya adalah x > 0.

2.  **Sederhanakan pertidaksamaan menggunakan sifat logaritma:**
    2 log x <= log (2x + 5) + 2 log 2
    Gunakan sifat n log a = log a^n:
    log x^2 <= log (2x + 5) + log 2^2
    log x^2 <= log (2x + 5) + log 4
    Gunakan sifat log a + log b = log (a*b):
    log x^2 <= log (4 * (2x + 5))
    log x^2 <= log (8x + 20)

3.  **Hilangkan logaritma (karena basisnya sama dan > 1, maka fungsi logaritma monoton naik):**
    x^2 <= 8x + 20

4.  **Ubah menjadi pertidaksamaan kuadrat:**
    x^2 - 8x - 20 <= 0

5.  **Cari akar-akar persamaan kuadrat x^2 - 8x - 20 = 0:**
    Kita bisa menggunakan pemfaktoran:
    (x - 10)(x + 2) = 0
    Akar-akarnya adalah x = 10 dan x = -2.

6.  **Tentukan solusi pertidaksamaan kuadrat:**
    Karena koefisien x^2 positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan x^2 - 8x - 20 <= 0 terpenuhi ketika nilai x berada di antara akar-akarnya, yaitu -2 <= x <= 10.

7.  **Gabungkan dengan domain:**
    Kita memiliki solusi -2 <= x <= 10 dan domain x > 0.
    Irisan dari kedua kondisi ini adalah 0 < x <= 10.

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah {x | 0 < x <= 10}.