Nilai dari 2log20+2log45-2log180-2log40 adalah....

-6

Pembahasan

Kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan ekspresi tersebut. Sifat-sifat yang akan digunakan adalah: log_b(m) + log_b(n) = log_b(m*n) dan log_b(m) - log_b(n) = log_b(m/n). Ekspresi yang diberikan adalah 2log20 + 2log45 - 2log180 - 2log40. Karena basis logaritmanya sama (yaitu 2), kita bisa menggabungkannya: 2log20 + 2log45 - 2log180 - 2log40 = 2 * (log20 + log45 - log180 - log40). Menggabungkan suku-suku positif: log20 + log45 = log(20 * 45) = log(900). Menggabungkan suku-suku negatif: -log180 - log40 = -(log180 + log40) = -log(180 * 40) = -log(7200). Jadi, ekspresi menjadi 2 * (log(900) - log(7200)). Menggunakan sifat pembagian: log(900) - log(7200) = log(900 / 7200). 900 / 7200 = 9 / 72 = 1 / 8. Jadi, ekspresi menjadi 2 * log(1/8). Kita tahu bahwa 1/8 dapat ditulis sebagai 2^(-3). Maka, 2 * log(1/8) = 2 * log(2^(-3)). Menggunakan sifat logaritma log_b(b^x) = x, dan log_b(m^n) = n*log_b(m). Jadi, 2 * (-3) * log(2) = -6 * log(2). Namun, basis logaritmanya adalah 2. Jadi, 2 * log2(2^(-3)) = 2 * (-3) = -6. Perhitungan ulang: 2log20 + 2log45 - 2log180 - 2log40 = log2(20^2) + log2(45^2) - log2(180^2) - log2(40^2) = log2(400) + log2(2025) - log2(32400) - log2(1600). = log2( (400 * 2025) / (32400 * 1600) ). = log2( 810000 / 51840000 ). = log2( 81 / 5184 ). 81 / 5184 = 1 / 64. Jadi, log2(1/64). Karena 64 = 2^6, maka 1/64 = 2^(-6). Jadi, log2(2^(-6)) = -6. Cara lain: 2log20 + 2log45 - 2log180 - 2log40 = 2(log20 + log45) - 2(log180 + log40) = 2log(20*45) - 2log(180*40) = 2log(900) - 2log(7200) = 2(log(900) - log(7200)) = 2log(900/7200) = 2log(1/8). log2(1/8) = log2(2^-3) = -3. Jadi, 2 * (-3) = -6.