Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1/2log(x^-8)>0 adalah

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x | x < -1 atau x > 1}.

Pembahasan

Pertidaksamaan yang diberikan adalah 1/2 log(x⁻⁸) > 0.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, kita perlu memperhatikan basis logaritma dan sifat-sifatnya.
Basis logaritma di sini adalah 1/2. Karena basisnya (1/2) lebih kecil dari 1, maka ketika kita menghilangkan logaritma, arah pertidaksamaan akan berbalik.

Langkah 1: Tulis ulang pertidaksamaan.
1/2 log(x⁻⁸) > 0

Langkah 2: Ubah 0 menjadi bentuk logaritma dengan basis yang sama (1/2).
0 = log
(1/2) (1)

Jadi, pertidaksamaannya menjadi:
1/2 log(x⁻⁸) > log
(1/2) (1)

Langkah 3: Hilangkan logaritma. Karena basisnya 1/2 (< 1), arah pertidaksamaan dibalik.
x⁻⁸ < 1

Langkah 4: Selesaikan pertidaksamaan x⁻⁸ < 1.
Kita bisa menulis x⁻⁸ sebagai 1/x⁸.
1/x⁸ < 1

Untuk menyelesaikan ini, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:
Kasus 1: x⁸ > 0 (Ini selalu benar untuk semua x bilangan real kecuali x=0).
Jika x⁸ > 0, kita bisa mengalikan kedua sisi dengan x⁸ tanpa mengubah arah pertidaksamaan:
1 < x⁸

Ini berarti x⁸ harus lebih besar dari 1. Nilai x⁸ akan selalu positif (atau nol jika x=0). Namun, logaritma tidak terdefinisi jika argumennya nol atau negatif. Jadi, x⁻⁸ harus positif, yang berarti 1/x⁸ > 0, yang mensyaratkan x ≠ 0.

Jika x⁸ > 1, maka |x| > 1. Ini berarti x > 1 atau x < -1.

Kasus 2: Pertimbangkan domain logaritma.
Argumen logaritma harus positif: x⁻⁸ > 0.
1/x⁸ > 0.
Ini selalu benar untuk semua nilai x bilangan real kecuali x = 0, karena x⁸ akan selalu positif jika x ≠ 0.

Jadi, kita memiliki kondisi x ≠ 0 dan 1/x⁸ < 1.

Mengalikan kedua sisi dengan x⁸ (yang positif karena x ≠ 0):
1 < x⁸

Ini berarti x⁸ harus lebih besar dari 1.
Nilai x yang memenuhi x⁸ > 1 adalah x > 1 atau x < -1.

Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < -1 atau x > 1}.
Dalam notasi interval, ini adalah (-∞, -1) U (1, ∞).

Mari kita periksa pilihan jawaban yang mungkin jika ada. Karena tidak ada pilihan yang diberikan, kita akan menyajikan jawaban dalam bentuk himpunan.