Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2logx+2log(x-3)<2log4

{x | 3 < x < 4}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma $2\log x + 2\log(x-3) < 2\log 4$, kita perlu menerapkan sifat-sifat logaritma dan memastikan domain logaritma terpenuhi.\nPertama, tentukan domain dari logaritma. Agar logaritma terdefinisi, argumennya harus positif:\n1. $x > 0$
2. $x - 3 > 0 \implies x > 3$
Jadi, domain yang memenuhi adalah $x > 3$.\nSelanjutnya, gunakan sifat logaritma $a\log b + a\log c = a\log(bc)$ pada sisi kiri pertidaksamaan:\n$2\log x + 2\log(x-3) = 2\log(x(x-3)) = 2\log(x^2-3x)$\nSekarang pertidaksamaan menjadi:\n$2\log(x^2-3x) < 2\log 4$\nKarena basis logaritma (yang diasumsikan adalah 10 atau bilangan lain yang lebih besar dari 1) sama dan positif, kita dapat membandingkan argumennya secara langsung, dengan memperhatikan bahwa fungsi logaritma adalah fungsi yang naik:\n$x^2 - 3x < 4$\nPindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:\n$x^2 - 3x - 4 < 0$\nFaktorkan kuadrat:\n$(x-4)(x+1) < 0$\nUntuk menemukan solusi dari pertidaksamaan ini, kita cari akar-akarnya, yaitu $x=4$ dan $x=-1$. Kemudian kita uji interval yang dibentuk oleh akar-akar ini:\n- Untuk $x < -1$ (misalnya $x=-2$): $(-2-4)(-2+1) = (-6)(-1) = 6 > 0$ (Tidak memenuhi)\n- Untuk $-1 < x < 4$ (misalnya $x=0$): $(0-4)(0+1) = (-4)(1) = -4 < 0$ (Memenuhi)\n- Untuk $x > 4$ (misalnya $x=5$): $(5-4)(5+1) = (1)(6) = 6 > 0$ (Tidak memenuhi)\nHimpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 < x < 4$.\nSekarang, kita harus menggabungkan solusi ini dengan domain yang telah kita tentukan sebelumnya, yaitu $x > 3$.\nIrisan dari $-1 < x < 4$ dan $x > 3$ adalah $3 < x < 4$.\nJadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan $2\log x + 2\log(x-3) < 2\log 4$ adalah {x | $3 < x < 4$}.