Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 9^(3log x)-7.3^(3log

$x > 7^{1/9}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial ini, kita perlu menyederhanakan terlebih dahulu dan kemudian mencari nilai x.

Pertidaksamaan: 9^(3log x) - 7 * 3^(3log x) > 0

Kita tahu bahwa 9 = 3^2, sehingga 9^(3log x) = (3^2)^(3log x) = 3^(2 * 3log x) = 3^(6log x).
Namun, lebih mudah jika kita menggunakan sifat logaritma (a^log_a b = b) dan sifat perpangkatan ((a^m)^n = a^(m*n)). Perhatikan bahwa basis logaritma tidak disebutkan, kita asumsikan basisnya adalah 10 atau e. Akan tetapi, bentuk 3^(3 log x) mengindikasikan bahwa basis logaritma kemungkinan adalah 3 agar bisa disederhanakan.

Mari kita ubah soalnya menjadi: (3^2)^(log_3 x) - 7 * 3^(log_3 x) > 0. Ini juga tidak tepat jika 3logx adalah logaritma dari x dengan basis 3. Jika 3logx adalah logaritma dari x dengan basis 10, maka kita tidak bisa menyederhanakannya seperti ini.

Mari kita asumsikan bahwa "3log x" berarti "log basis 3 dari x", atau lebih umum, suatu fungsi dari x yang kita sebut 'u', yaitu u = 3^(log x). Maka pertidaksamaan menjadi:

(3^2)^u - 7 * 3^u > 0
9^u - 7 * 3^u > 0

Kita bisa memfaktorkan 3^u dari kedua suku:
3^u (3^u - 7) > 0

Karena 3^u selalu positif untuk semua nilai u yang real, maka agar pertidaksamaan ini benar, kita perlu:
3^u - 7 > 0
3^u > 7

Sekarang, kita perlu mengganti kembali u = 3^(log x). Namun, ini menimbulkan pertanyaan tentang basis logaritma.

Kemungkinan lain adalah "3log x" berarti $3 	imes 	ext{log } x$. Jika demikian, maka:
$9^{3 	ext{log } x} = (3^2)^{3 	ext{log } x} = 3^{6 	ext{log } x}$

Dan pertidaksamaannya menjadi:
$3^{6 	ext{log } x} - 7 	imes 3^{3 	ext{log } x} > 0$

Misalkan $y = 3^{3 	ext{log } x}$. Maka pertidaksamaan menjadi:
$y^2 - 7y > 0$
$y(y - 7) > 0$

Ini berarti $y < 0$ atau $y > 7$.

Kasus 1: $y < 0$
$3^{3 	ext{log } x} < 0$
Karena $3^z$ selalu positif untuk $z$ real, maka kasus ini tidak memiliki solusi.

Kasus 2: $y > 7$
$3^{3 	ext{log } x} > 7$

Untuk menyelesaikan ini, kita ambil logaritma dari kedua sisi. Mari kita gunakan logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log). Misalkan kita gunakan logaritma natural:
$	ext{ln}(3^{3 	ext{log } x}) > 	ext{ln}(7)$
$(3 	ext{log } x) 	ext{ln}(3) > 	ext{ln}(7)$
$3 	ext{log } x > rac{	ext{ln}(7)}{	ext{ln}(3)}$
$3 	ext{log } x > 	ext{log}_3(7)$

$	ext{log } x > rac{1}{3} 	ext{log}_3(7)$

Sekarang kita perlu mengetahui basis dari logaritma "log x". Jika basisnya adalah 10:
$	ext{log}_{10} x > rac{1}{3} 	ext{log}_3(7)$
$x > 10^{rac{1}{3} 	ext{log}_3(7)}$

Agar $	ext{log } x$ terdefinisi, $x > 0$. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x > 10^{rac{1}{3} 	ext{log}_3(7)}$.

Jika basisnya adalah 3:
$3 	imes (3 	ext{log}_3 x) > 	ext{log}_3(7)$
$9 	ext{log}_3 x > 	ext{log}_3(7)$
$	ext{log}_3 x > rac{1}{9} 	ext{log}_3(7)$
$	ext{log}_3 x > 	ext{log}_3(7^{1/9})$
$x > 7^{1/9}$

Dan syarat $x > 0$ terpenuhi. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x > 7^{1/9}$.

Karena soal tidak spesifik mengenai basis logaritma, dan bentuk $3^{3 	ext{log } x}$ sering muncul dalam konteks logaritma basis 3, kita akan mengasumsikan basisnya adalah 3.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah $x > 7^{1/9}$