Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x+1)(2 x+3) >= 1

$x \le -2$ atau $x \ge -\frac{1}{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $(x+1)(2x+3) \ge 1$, kita perlu membawa semua suku ke satu sisi dan mencari akar-akarnya.

$(x+1)(2x+3) \ge 1$
$2x^2 + 3x + 2x + 3 \ge 1$
$2x^2 + 5x + 3 \ge 1$
$2x^2 + 5x + 2 \ge 0$

Selanjutnya, kita faktorkan persamaan kuadrat $2x^2 + 5x + 2 = 0$. Kita bisa mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $2 \times 2 = 4$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $5$. Bilangan tersebut adalah $4$ dan $1$.

$2x^2 + 4x + x + 2 = 0$
$2x(x+2) + 1(x+2) = 0$
$(2x+1)(x+2) = 0$

Akar-akarnya adalah $x = -\frac{1}{2}$ dan $x = -2$.

Karena pertidaksamaan adalah $\ge 0$, maka kita mencari interval di mana parabola $y = 2x^2 + 5x + 2$ berada di atas atau pada sumbu-x. Dengan menguji interval:
- Untuk $x < -2$, misalnya $x = -3$: $2(-3)^2 + 5(-3) + 2 = 18 - 15 + 2 = 5 > 0$.
- Untuk $-2 < x < -\frac{1}{2}$, misalnya $x = -1$: $2(-1)^2 + 5(-1) + 2 = 2 - 5 + 2 = -1 < 0$.
- Untuk $x > -\frac{1}{2}$, misalnya $x = 0$: $2(0)^2 + 5(0) + 2 = 2 > 0$.

Himpunan penyelesaiannya adalah $x \le -2$ atau $x \ge -\frac{1}{2}$.