Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x/(x^2-3x-4)>=2/x

(-∞, 3-√17] ∪ (-1, 0) ∪ (4, 3+√17]

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\frac{x}{x^2-3x-4}\ge\frac{2}{x}\), kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama.

Langkah 1: Pindahkan \(\frac{2}{x}\) ke sisi kiri.
\(\frac{x}{x^2-3x-4} - \frac{2}{x} \ge 0\)

Langkah 2: Faktorkan penyebut pertama. \(x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)\).
\(\frac{x}{(x-4)(x+1)} - \frac{2}{x} \ge 0\)

Langkah 3: Cari penyebut bersama, yaitu \(x(x-4)(x+1)\).
\(\frac{x \cdot x}{(x-4)(x+1) \cdot x} - \frac{2 \cdot (x-4)(x+1)}{x \cdot (x-4)(x+1)} \ge 0\)
\(\frac{x^2 - 2(x^2 - 3x - 4)}{x(x-4)(x+1)} \ge 0\)

Langkah 4: Sederhanakan pembilang.
\(\frac{x^2 - 2x^2 + 6x + 8}{x(x-4)(x+1)} \ge 0\)
\(\frac{-x^2 + 6x + 8}{x(x-4)(x+1)} \ge 0\)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan -1 untuk membuat koefisien \(x^2\) positif, dan jangan lupa membalik tanda ketidaksamaan.
\(\frac{x^2 - 6x - 8}{x(x-4)(x+1)} \le 0\)

Langkah 5: Cari akar-akar dari pembilang dan penyebut.
Akar-akar pembilang \(x^2 - 6x - 8 = 0\) dapat dicari menggunakan rumus kuadrat \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
Di sini, a=1, b=-6, c=-8.
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}\)
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 32}}{2}\)
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2}\)
\(x = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2}\)
\(x = 3 \pm \sqrt{17}\)
Akar-akarnya adalah \(x_1 = 3 - \sqrt{17}\) (sekitar -1.12) dan \(x_2 = 3 + \sqrt{17}\) (sekitar 7.12).

Akar-akar penyebut adalah \(x=0\), \(x=4\), dan \(x=-1\).

Langkah 6: Buat garis bilangan dan uji tanda.
Kita memiliki titik-titik kritis: \(3-\sqrt{17}\), -1, 0, 4, \(3+\sqrt{17}\).
Urutkan titik-titik ini pada garis bilangan: \(3-\sqrt{17}\) ≈ -1.12, -1, 0, 4, \(3+\sqrt{17}\) ≈ 7.12.

Titik-titik tersebut membagi garis bilangan menjadi interval-interval berikut:
(-\infty, \(3-\sqrt{17}\)), (\(3-\sqrt{17}\), -1), (-1, 0), (0, 4), (4, \(3+\sqrt{17}\)), (\(3+\sqrt{17}\), \infty).

Kita perlu menguji tanda dari \(\frac{x^2 - 6x - 8}{x(x-4)(x+1)}\) di setiap interval. Kita mencari interval di mana ekspresinya \(\le 0\).

-   Untuk x < \(3-\sqrt{17}\) (misal x = -2):
    Pembilang: (-2)² - 6(-2) - 8 = 4 + 12 - 8 = 8 (positif)
    Penyebut: (-2)(-2-4)(-2+1) = (-2)(-6)(-1) = -12 (negatif)
    Hasil: positif / negatif = negatif. Maka, \(\le 0\) terpenuhi.

-   Untuk \(3-\sqrt{17}\) < x < -1 (misal x = -1.1):
    Pembilang: (-1.1)² - 6(-1.1) - 8 = 1.21 + 6.6 - 8 = -0.19 (negatif)
    Penyebut: (-1.1)(-1.1-4)(-1.1+1) = (-1.1)(-5.1)(-0.1) = -0.561 (negatif)
    Hasil: negatif / negatif = positif. Maka, \(\le 0\) tidak terpenuhi.

-   Untuk -1 < x < 0 (misal x = -0.5):
    Pembilang: (-0.5)² - 6(-0.5) - 8 = 0.25 + 3 - 8 = -4.75 (negatif)
    Penyebut: (-0.5)(-0.5-4)(-0.5+1) = (-0.5)(-4.5)(0.5) = 1.125 (positif)
    Hasil: negatif / positif = negatif. Maka, \(\le 0\) terpenuhi.

-   Untuk 0 < x < 4 (misal x = 1):
    Pembilang: (1)² - 6(1) - 8 = 1 - 6 - 8 = -13 (negatif)
    Penyebut: (1)(1-4)(1+1) = (1)(-3)(2) = -6 (negatif)
    Hasil: negatif / negatif = positif. Maka, \(\le 0\) tidak terpenuhi.

-   Untuk 4 < x < \(3+\sqrt{17}\) (misal x = 5):
    Pembilang: (5)² - 6(5) - 8 = 25 - 30 - 8 = -13 (negatif)
    Penyebut: (5)(5-4)(5+1) = (5)(1)(6) = 30 (positif)
    Hasil: negatif / positif = negatif. Maka, \(\le 0\) terpenuhi.

-   Untuk x > \(3+\sqrt{17}\) (misal x = 8):
    Pembilang: (8)² - 6(8) - 8 = 64 - 48 - 8 = 8 (positif)
    Penyebut: (8)(8-4)(8+1) = (8)(4)(9) = 288 (positif)
    Hasil: positif / positif = positif. Maka, \(\le 0\) tidak terpenuhi.

Langkah 7: Tentukan himpunan penyelesaian.
Ketaksamaan \(\frac{x^2 - 6x - 8}{x(x-4)(x+1)} \le 0\) terpenuhi pada interval:
(-\infty, \(3-\sqrt{17}\)] \cup (-1, 0) \cup (4, \(3+\sqrt{17}\)].

Perhatikan bahwa akar pembilang \(3-\sqrt{17}\) dan \(3+\sqrt{17}\) termasuk dalam penyelesaian karena tanda ketidaksamaan adalah \(\le\), sedangkan akar penyebut (0, 4, -1) tidak termasuk karena menyebabkan pembagian dengan nol.

Himpunan penyelesaiannya adalah \(x \in (-\infty, 3-\sqrt{17}] \cup (-1, 0) \cup (4, 3+\sqrt{17}]\).