Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan: 2x+y<=40;

Segiempat

Pembahasan

Sistem pertidaksamaan yang diberikan adalah:
1. $2x+y \leq 40$
2. $x+2y \leq 40$
3. $x \geq 0$
4. $y \geq 0$

Kita perlu menentukan bentuk daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear ini. Kendala $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ menunjukkan bahwa daerah penyelesaian berada di kuadran pertama.

Pertidaksamaan $2x+y \leq 40$ dan $x+2y \leq 40$ adalah pertidaksamaan linear yang garis batasnya adalah $2x+y = 40$ dan $x+2y = 40$. Kedua garis ini akan memotong sumbu koordinat dan satu sama lain.

Garis $2x+y = 40$ memotong sumbu x di $(20, 0)$ dan sumbu y di $(0, 40)$.
Garis $x+2y = 40$ memotong sumbu x di $(40, 0)$ dan sumbu y di $(0, 20)$.

Untuk mencari titik potong kedua garis, kita bisa menyelesaikan sistem persamaan:
$2x+y = 40 	 	 |\times 2|
 x+2y = 40 	 	 |\times 1|$

Menjadi:
$4x+2y = 80$
$x+2y = 40$

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
$(4x+2y) - (x+2y) = 80 - 40$
$3x = 40$
$x = 40/3$

Substitusikan nilai x ke salah satu persamaan awal, misalnya $2x+y = 40$:
$2(40/3) + y = 40$
$80/3 + y = 40$
$y = 40 - 80/3$
$y = (120 - 80)/3$
$y = 40/3$

Jadi, titik potong kedua garis adalah $(40/3, 40/3)$.

Dengan mempertimbangkan kendala $x ", "y \geq 0$, daerah penyelesaian dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan kedua garis $2x+y = 40$ dan $x+2y = 40$. Karena kedua pertidaksamaan adalah '\leq', daerah penyelesaian berada di bawah kedua garis tersebut.

Bentuk daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear ini adalah segiempat yang dibatasi oleh titik $(0,0)$, $(20,0)$, $(40/3, 40/3)$, dan $(0,20)$. Bentuk ini adalah sebuah segiempat, lebih spesifiknya adalah sebuah trapesium siku-siku jika dilihat dari salah satu sumbu, atau sebuah segi empat yang cekung jika dilihat dari titik potongnya, namun dalam konteks program linear, bentuk paling umum yang dibatasi oleh empat garis linear dengan pembatas non-negatif adalah sebuah poligon, dalam hal ini segiempat.