limit x mendekati 2 (x^2-5x+6)sin(x-2)/(x^2-x-2)^2

-1/9

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to 2} \frac{(x^2-5x+6)\sin(x-2)}{(x^2-x-2)^2}$, kita pertama-tama akan memfaktorkan ekspresi polinomial di penyebut dan pembilang.

Langkah 1: Faktorkan ekspresi kuadrat.
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$
$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

Langkah 2: Substitusikan faktor-faktor ke dalam limit.
$\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x-3)\sin(x-2)}{((x-2)(x+1))^2}$
$\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x-3)\sin(x-2)}{(x-2)^2(x+1)^2}$

Langkah 3: Sederhanakan ekspresi.
Kita bisa membatalkan satu faktor $(x-2)$ dari pembilang dan penyebut:
$\lim_{x\to 2} \frac{(x-3)\sin(x-2)}{(x-2)(x+1)^2}$

Langkah 4: Gunakan sifat limit $\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.
Kita bisa memisahkan limit menjadi dua bagian:
$\lim_{x\to 2} \frac{x-3}{(x+1)^2} \times \lim_{x\to 2} \frac{\sin(x-2)}{x-2}$

Untuk bagian kedua, biarkan $u = x-2$. Ketika $x \to 2$, maka $u \to 0$. Jadi, $\lim_{x\to 2} \frac{\sin(x-2)}{x-2} = \lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Langkah 5: Hitung limit bagian pertama.
Substitusikan $x=2$ ke dalam $\frac{x-3}{(x+1)^2}$:
$\frac{2-3}{(2+1)^2} = \frac{-1}{3^2} = \frac{-1}{9}$

Langkah 6: Kalikan hasil kedua bagian.
Hasil akhir adalah hasil dari kedua limit dikalikan:
$\frac{-1}{9} \times 1 = -1/9$.

Jadi, limitnya adalah -1/9.