Himpunan penyelesaian |x+2/2x-3|<4 adalah

$x < 10/9$ atau $x > 2$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan $|x+2 / 2x-3| < 4$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus karena adanya nilai mutlak.

Kasus 1: $(x+2) / (2x-3) < 4$
Kurangkan kedua sisi dengan 4: $(x+2) / (2x-3) - 4 < 0$
Samakan penyebutnya: $(x+2 - 4(2x-3)) / (2x-3) < 0$
$(x+2 - 8x + 12) / (2x-3) < 0$
$(-7x + 14) / (2x-3) < 0$
Agar pecahan ini negatif, pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang berlawanan.

   a) $-7x+14 > 0$ dan $2x-3 < 0$
      $-7x > -14 => x < 2$
      $2x < 3 => x < 3/2$
      Irisannya adalah $x < 3/2$.
   b) $-7x+14 < 0$ dan $2x-3 > 0$
      $-7x < -14 => x > 2$
      $2x > 3 => x > 3/2$
      Irisannya adalah $x > 2$.

Jadi, solusi dari Kasus 1 adalah $x < 3/2$ atau $x > 2$.

Kasus 2: $(x+2) / (2x-3) > -4$
Tambahkan 4 ke kedua sisi: $(x+2) / (2x-3) + 4 > 0$
Samakan penyebutnya: $(x+2 + 4(2x-3)) / (2x-3) > 0$
$(x+2 + 8x - 12) / (2x-3) > 0$
$(9x - 10) / (2x-3) > 0$
Agar pecahan ini positif, pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang sama.

   a) $9x-10 > 0$ dan $2x-3 > 0$
      $9x > 10 => x > 10/9$
      $2x > 3 => x > 3/2$
      Irisannya adalah $x > 3/2$.
   b) $9x-10 < 0$ dan $2x-3 < 0$
      $9x < 10 => x < 10/9$
      $2x < 3 => x < 3/2$
      Irisannya adalah $x < 10/9$.

Jadi, solusi dari Kasus 2 adalah $x < 10/9$ atau $x > 3/2$.

Selanjutnya, kita perlu mencari irisan dari solusi kedua kasus tersebut:
Irisan dari ($x < 3/2$ atau $x > 2$) DAN ($x < 10/9$ atau $x > 3/2$).

Perhatikan bahwa $10/9 \approx 1.11$ dan $3/2 = 1.5$. Maka urutannya adalah $10/9 < 3/2 < 2$.

- $x < 3/2$ dan $x < 10/9 
ightarrow x < 10/9$
- $x < 3/2$ dan $x > 3/2 
ightarrow$ tidak ada solusi
- $x > 2$ dan $x < 10/9 
ightarrow$ tidak ada solusi
- $x > 2$ dan $x > 3/2 
ightarrow x > 2$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x < 10/9$ atau $x > 2$.

Jawaban: Himpunan penyelesaian $|x+2/2x-3|<4$ adalah $x < 10/9$ atau $x > 2$.