Hitung lim x->0 (sin(3+x)^2-sin 9)/x.

Dengan asumsi soal adalah lim x->0 (sin^2(3+x)-sin^2(3))/x, hasilnya adalah sin(6).

Pembahasan

Untuk menghitung $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3+x)^2 - \sin 9}{x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena bentuknya adalah $\frac{0}{0}$ jika kita substitusi $x=0$ (sin(3)^2 bukan sin(9), ini mungkin kesalahan penulisan soal, seharusnya sin(3)^2. Namun, jika kita asumsikan soalnya benar dan yang dimaksud adalah $\sin^2(3+x)$ dan $\sin^2(3)$ atau $\sin(3)$ dan $\sin(3)$, mari kita coba interpretasi yang paling mungkin yaitu $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3+x) - \sin^2(3)}{x}$).

Jika soalnya adalah $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3+x) - \sin^2(3)}{x}$, maka turunkan pembilang dan penyebut terhadap $x$:
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\sin^2(3+x) - \sin^2(3)) = 2\sin(3+x) \cdot \cos(3+x) 
= \sin(2(3+x)) = \sin(6+2x)$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(x) = 1$

Maka, limitnya adalah $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(6+2x)}{1} = \sin(6+2(0)) = \sin(6)$.

Namun, jika soal yang dimaksud adalah $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3+x) - \sin(3)}{x}$, ini adalah definisi turunan dari $\sin(x)$ pada $x=3$, yaitu $\cos(3)$.

Jika kita menginterpretasikan soal asli $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3+x)^2 - \sin 9}{x}$ secara harfiah, dan mengasumsikan $\sin 9$ berarti $\sin(9 	ext{ radian})$ atau $\sin(9^\circ)$, dan $\sin(3+x)^2$ berarti $(\sin(3+x))^2$, maka substitusi $x=0$ menghasilkan $(\sin(3))^2 - \sin(9)$. Ini tidak menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$.

Asumsi yang paling mungkin dari soal ini adalah: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3+x) - \sin^2(3)}{x}$.
Dalam kasus ini, jawabannya adalah $\sin(6)$.

Jika soalnya adalah $\lim_{x \to 0} \frac{(\sin(3+x))^2 - (\sin(3))^2}{x}$:
Menggunakan aturan L'Hopital:
Turunan pembilang terhadap x: $2 \sin(3+x) \cos(3+x) = \sin(2(3+x)) = \sin(6+2x)$
Turunan penyebut terhadap x: $1$
Maka, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(6+2x)}{1} = \sin(6+0) = \sin(6)$.

Jika soalnya adalah $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3+x) - \sin(3)}{x}$:
Menggunakan aturan L'Hopital:
Turunan pembilang terhadap x: $\cos(3+x)$
Turunan penyebut terhadap x: $1$
Maka, $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3+x)}{1} = \cos(3)$.

Mengingat konteks soal matematika, kemungkinan besar yang dimaksud adalah $\sin^2$. Dan $\sin 9$ bisa jadi merujuk pada $\sin^2(3)$. Mari kita gunakan interpretasi $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3+x) - \sin^2(3)}{x}$. Jawabannya adalah $\sin(6)$.