Diketahui tan 2theta = 3 3/7 untuk 90 < 0 < 135 . Tentukan

sin(θ) = 4/5, cos(θ) = -4/5

Pembahasan

Diketahui tan(2θ) = 3 3/7 = 24/7.
Kita juga diberikan informasi bahwa 90° < θ < 135°.

Langkah 1: Tentukan nilai sin(2θ) dan cos(2θ).
Karena tan(2θ) positif, maka sudut 2θ berada di kuadran I atau III.
Namun, karena 90° < θ < 135°, maka 180° < 2θ < 270°. Ini berarti sudut 2θ berada di kuadran III.

Dalam kuadran III, nilai sin adalah negatif dan nilai cos juga negatif.

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri:
1 + tan^2(α) = sec^2(α)

1 + (24/7)^2 = sec^2(2θ)
1 + 576/49 = sec^2(2θ)
(49 + 576)/49 = sec^2(2θ)
625/49 = sec^2(2θ)

Karena sec(2θ) = 1/cos(2θ), maka:
cos^2(2θ) = 49/625

Karena 2θ di kuadran III, cos(2θ) negatif:
cos(2θ) = -√(49/625) = -7/25

Selanjutnya, kita cari sin(2θ). Kita tahu tan(2θ) = sin(2θ)/cos(2θ).

24/7 = sin(2θ) / (-7/25)

sin(2θ) = (24/7) * (-7/25)
sin(2θ) = -24/25

Langkah 2: Gunakan identitas sudut ganda untuk mencari sin(θ) dan cos(θ).
Kita memiliki identitas:
cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ)
-7/25 = 1 - 2sin^2(θ)
2sin^2(θ) = 1 + 7/25
2sin^2(θ) = (25 + 7)/25
2sin^2(θ) = 32/25
sin^2(θ) = 16/25

Karena 90° < θ < 135°, θ berada di kuadran II. Dalam kuadran II, nilai sin positif.
sin(θ) = √(16/25) = 4/5

Kita juga memiliki identitas:
cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1
-7/25 = 2cos^2(θ) - 1
2cos^2(θ) = 1 + 7/25
2cos^2(θ) = 32/25
cos^2(θ) = 16/25

Karena 90° < θ < 135°, θ berada di kuadran II. Dalam kuadran II, nilai cos negatif.
cos(θ) = -√(16/25) = -4/5

Jadi, nilai sin(θ) = 4/5 dan cos(θ) = -4/5.