Hitung nilai setiap limit trigonometri berikut. lim x->0

Nilai limit adalah -2.

Pembahasan

Untuk menghitung limit trigonometri lim x->0 (tan(cos 4x-1))/(3x.sin (4/3x)), kita dapat menggunakan beberapa identitas trigonometri dan sifat limit. Namun, substitusi langsung x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Kita bisa menggunakan pendekatan menggunakan ekspansi Taylor atau L'Hopital's Rule. 
Dengan menggunakan L'Hopital's Rule:
lim x->0 (tan(cos 4x-1))/(3x.sin (4/3x))
Turunan dari pembilang: d/dx [tan(cos 4x-1)] = sec^2(cos 4x-1) * (-sin 4x) * 4
Turunan dari penyebut: d/dx [3x.sin (4/3x)] = 3*sin(4/3x) + 3x * cos(4/3x) * (4/3)
= 3sin(4/3x) + 4x cos(4/3x)

Menerapkan L'Hopital's Rule lagi jika masih bentuk tak tentu.

Pendekatan lain dengan identitas trigonometri:
Kita tahu bahwa untuk x dekat 0, tan(u) ≈ u dan sin(u) ≈ u.
Jadi, tan(cos 4x - 1) ≈ cos 4x - 1. 
Kita tahu bahwa cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ). Jadi cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x).
cos 4x - 1 = -2sin^2(2x).

Maka, limit menjadi: lim x->0 (-2sin^2(2x)) / (3x * sin(4/3x))
Kita juga tahu sin(ax) ≈ ax untuk x dekat 0.
Limit ≈ lim x->0 (-2 * (2x)^2) / (3x * (4/3x))
      ≈ lim x->0 (-2 * 4x^2) / (4x^2)
      ≈ lim x->0 (-8x^2) / (4x^2)
      ≈ -2

Hasil perhitungan yang lebih rinci menunjukkan nilai limit adalah -2.