Hitunglah: lim x->tak hingga (akar(x^2+x-1)-akar(x^2+5x+1))

-2

Pembahasan

Untuk menghitung limit: lim x→∞ (√(x²+x-1) - √(x²+5x+1)), kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan konjugatnya.

Langkah 1: Kalikan dengan konjugat dari ekspresi tersebut.
Konjugat dari (√(x²+x-1) - √(x²+5x+1)) adalah (√(x²+x-1) + √(x²+5x+1)).

lim x→∞ [ (√(x²+x-1) - √(x²+5x+1)) * (√(x²+x-1) + √(x²+5x+1)) / (√(x²+x-1) + √(x²+5x+1)) ]

Langkah 2: Gunakan rumus (a-b)(a+b) = a² - b² di pembilang.

lim x→∞ [ (x²+x-1) - (x²+5x+1) ] / (√(x²+x-1) + √(x²+5x+1))

Langkah 3: Sederhanakan pembilang.

lim x→∞ [ x²+x-1 - x²-5x-1 ] / (√(x²+x-1) + √(x²+5x+1))
lim x→∞ [ -4x - 2 ] / (√(x²+x-1) + √(x²+5x+1))

Langkah 4: Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x (atau √x²).

lim x→∞ [ -4x/x - 2/x ] / (√(x²/x²) + √(x²/x²) + 5x/x² + 1/x²)
lim x→∞ [ -4 - 2/x ] / (√(1+1/x-1/x²) + √(1+5/x+1/x²))

Langkah 5: Substitusikan x = ∞. Ingat bahwa 1/∞ mendekati 0.

[ -4 - 0 ] / (√(1+0-0) + √(1+0+0))
= -4 / (√1 + √1)
= -4 / (1 + 1)
= -4 / 2
= -2

Jadi, hasil limitnya adalah -2.