Hitunglah limit-limit berikut. limit x mendekati 0 (tan x

a. 2, b. $f'(t)$

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung dua jenis limit:

**1. Limit Fungsi Trigonometri:**
Kita perlu menghitung: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x} $$ 
Karena jika kita substitusi langsung $x=0$, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan Aturan L'Hôpital atau ekspansi deret Taylor.

*   **Menggunakan Aturan L'Hôpital:** Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
    $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\tan x - x)}{\frac{d}{dx}(x - \sin x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{1 - \cos x} $$
    Substitusi $x=0$ lagi masih memberikan 0/0. Terapkan L'Hôpital lagi:
    $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sec^2 x - 1)}{\frac{d}{dx}(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sec x \cdot (\sec x \tan x)}{ \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^2 x \tan x}{\sin x} $$
    Kita tahu bahwa $\tan x = \sin x / \cos x$, jadi:
    $$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^2 x}{\cos x} $$
    Karena $\sec x = 1/\cos x$, maka $\sec^2 x = 1/\cos^2 x$:
    $$ \lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos^3 x} = \frac{2}{(\cos 0)^3} = \frac{2}{1^3} = 2 $$

*   **Jawaban untuk bagian pertama:** Limitnya adalah 2.

**2. Limit dengan Definisi Turunan:**
Kita perlu menentukan limit berikut untuk $f(t)$: $$ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t+\Delta t) - f(t)}{\Delta t} $$ 
Ini adalah definisi dari turunan fungsi $f(t)$, yang ditulis sebagai $f'(t)$. Namun, fungsi $f(t)$ tidak diberikan dalam soal. Jika kita mengasumsikan $f(t)$ adalah fungsi umum, maka jawabannya adalah turunan dari $f(t)$. Jika ada fungsi spesifik yang dimaksud tetapi tidak disertakan, kita tidak dapat menghitung nilai numerik.

*   **Jawaban untuk bagian kedua:** Limit tersebut adalah definisi dari turunan $f(t)$, yaitu $f'(t)$. Tanpa mengetahui bentuk eksplisit dari $f(t)$, kita tidak dapat menyederhanakannya lebih lanjut.