Nilai lim x->0 (sin 3x-sin3x cos 2x)/2x^3 =

Nilai limitnya adalah 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit 
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin 3x \cos 2x}{2x^3}$$ 
kita dapat menggunakan beberapa langkah:

1.  **Faktorisasi:** Faktorkan $\sin 3x$ dari pembilang:
    $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (1 - \cos 2x)}{2x^3}$$ 

2.  **Gunakan Identitas Trigonometri:** Kita tahu bahwa $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$. Substitusikan identitas ini:
    $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (2 \sin^2 x)}{2x^3}$$ 

3.  **Sederhanakan Ekspresi:** 
    $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 3x \sin^2 x}{2x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \sin^2 x}{x^3}$$ 

4.  **Pisahkan Limit:** Gunakan sifat limit $\lim (f(x)g(x)) = \lim f(x) \lim g(x)$ dan $\lim \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$. Pisahkan menjadi:
    $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$$ 
    Ini belum benar karena ada $\frac{1}{x}$ yang akan menuju tak hingga.

    Mari kita kelompokkan ulang:
    $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} \right)$$ 
    Ini masih bermasalah.

    Kita perlu menyusun ulang agar sesuai dengan bentuk $\frac{\sin ax}{ax}$.
    $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x^3} (2 \sin^2 x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{2}{x}$$ 
    Ini juga bermasalah.

    Mari kita kembali ke bentuk: $$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (2 \sin^2 x)}{2x^3}$$ 
    $$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{2}{2}$$ 
    Ini masih salah karena $x^3$ di penyebut.

    Mari kita ubah penyebutnya:
    $$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cdot 2 \sin^2 x}{2x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{2}{2x}$$ 
    Ini masih salah.

    Kita perlu $\frac{\sin ax}{ax}$. Mari kita susun ulang:
    $$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{1}{x}$$ 
    Ini masih salah.

    Cara yang benar:
    $$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (2 \sin^2 x)}{2x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{2}{2}$$ 
    Ini hanya $\sin 3x / x * (sin x / x)^2$. Kita perlu $x^3$ di penyebut.

    $$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (1 - \cos 2x)}{2x^3}$$ 
    Gunakan $\sin 3x \approx 3x$ dan $1 - \cos 2x \approx \frac{1}{2}(2x)^2 = 2x^2$ untuk $x \to 0$.
    $$\\lim_{x \to 0} \frac{(3x)(2x^2)}{2x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{6x^3}{2x^3} = 3$$ 

    Mari kita verifikasi dengan identitas:
    $$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (2 \sin^2 x)}{2x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{2}{2}$$ 
    Ini masih salah.

    Kita punya $\frac{\sin 3x}{x^3} \\sin^2 x$. Kita butuh $\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x$ dan $\frac{\sin x}{x} \cdot x \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot x$.
    $$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x \sin^2 x}{x^3} = 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x \sin^2 x}{x^3}$$ 
    $$\\lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^2 x}{x^2} = 3 \\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 = 3 \cdot 1^2 = 3$$ 

    Jadi, nilai limitnya adalah 3.

Verifikasi dengan L'Hopital's Rule (jika diizinkan):
Bentuk awal: $\frac{0}{0}$
Turunan pertama:
$$ \\lim_{x \to 0} \frac{3 \cos 3x - (3 \cos 3x \cos 2x - \sin 3x \cdot 2 \sin 2x)}{6x^2} $$ 
Ini menjadi lebih rumit.

Mari kita gunakan bentuk yang sudah disederhanakan: $\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \sin^2 x}{x^3}$.
Kita bisa menulis ulang sebagai:
$$\\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{x} \right) \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \frac{1}{x} \right)$$ 
Ini adalah kesalahan penalaran sebelumnya.

Susunan yang benar:
$$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x^3} (2 \sin^2 x) = \\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{x^3} \cdot (2 \sin^2 x)$$ 
$$\\lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac{3}{x^2} \cdot 2 \sin^2 x = \\lim_{x \to 0} \frac{6 \sin^2 x}{x^2} = 6 \\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 = 6 \cdot 1^2 = 6$$ 

Ada kesalahan di perhitungan sebelumnya. Mari kita periksa lagi identitas $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.

$$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (1 - \cos 2x)}{2x^3} = \\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (2 \sin^2 x)}{2x^3}$$ 
$$ = \\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 3x \sin^2 x}{2x^3} = \\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \sin^2 x}{x^3}$$ 
Kita tahu $\\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$. Jadi, $\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ dan $\\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Kita bisa menulis ulang ekspresi sebagai:
$$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{3x \cdot x^2}{x^3}$$ 
$$ = \\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \right) \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{3x^3}{x^3}$$ 
$$ = 1 \cdot 1^2 \cdot 3 = 3$$ 

Jadi, nilai limitnya adalah 3.