Hitunglah nilai bentuk trigonometri berikut. (tan^2

-√3

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung nilai dari ekspresi trigonometri:
(tan^2 187,5° - tan^2 52,5°) / (1 - (tan 187,5° tan 52,5°)^2)

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ini. Perhatikan bahwa ekspresi tersebut mirip dengan bentuk identitas tangen jumlah atau selisih, tetapi tidak persis sama.

Mari kita ubah sudutnya terlebih dahulu:
tan 187,5° = tan (180° + 7,5°) = tan 7,5°

Jadi, ekspresi menjadi:
(tan^2 7,5° - tan^2 52,5°) / (1 - (tan 7,5° tan 52,5°)^2)

Ini masih belum langsung ke identitas yang umum.

Mari kita gunakan identitas: tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B) dan tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B).

Juga ingat bahwa tan(90° - x) = cot x = 1/tan x.

Perhatikan bahwa 187,5° = 180° + 7,5° dan 52,5° = 45° + 7,5°.
Atau perhatikan hubungan antara 187,5° dan 52,5°:
187,5° - 52,5° = 135°.

Namun, bentuk soalnya tidak cocok dengan tan(A-B) atau tan(A+B) secara langsung.

Mari kita gunakan identitas lain. Perhatikan bentuknya: (x² - y²) / (1 - (xy)²).
Ini dapat ditulis ulang sebagai:
(tan 187.5° - tan 52.5°)(tan 187.5° + tan 52.5°) / (1 - tan 187.5° tan 52.5°)(1 + tan 187.5° tan 52.5°)

Ini juga tidak menyederhanakan dengan mudah.

Mari kita gunakan nilai tan untuk sudut-sudut ini jika memungkinkan, atau cari identitas yang lebih sesuai.

Kita tahu bahwa tan(2A) = 2 tan A / (1 - tan^2 A).

Perhatikan kembali ekspresi: (tan^2 A - tan^2 B) / (1 - (tan A tan B)^2).

Jika kita misalkan A = 187,5° dan B = 52,5°.

Kita bisa menggunakan identitas tangen sudut ganda atau jumlah/selisih yang dimodifikasi.

Identitas yang relevan adalah: tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B).
Jika kita kuadratkan kedua sisi:
tan^2(A + B) = (tan A + tan B)^2 / (1 - tan A tan B)^2 = (tan^2 A + tan^2 B + 2 tan A tan B) / (1 - tan^2 A tan^2 B - 2 tan A tan B).
Ini tidak cocok.

Identitas lain yang mungkin berguna: tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B).
Kuadratkan:
tan^2(A - B) = (tan^2 A + tan^2 B - 2 tan A tan B) / (1 + tan^2 A tan^2 B + 2 tan A tan B).
Ini juga tidak cocok.

Mari kita perhatikan kembali soalnya. Jika ada kesalahan pengetikan dan seharusnya adalah:
(tan A - tan B) / (1 + tan A tan B) atau (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B), maka penyelesaiannya akan lebih mudah.

Namun, dengan bentuk soal yang diberikan, kita perlu mencari cara lain.

Kita tahu bahwa tan(187.5°) = tan(180° + 7.5°) = tan(7.5°).
Kita juga tahu bahwa tan(52.5°) = tan(45° + 7.5°).

Menggunakan tan(A+B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B):
tan(52.5°) = tan(45° + 7.5°) = (tan 45° + tan 7.5°) / (1 - tan 45° tan 7.5°)
Karena tan 45° = 1:
tan(52.5°) = (1 + tan 7.5°) / (1 - tan 7.5°)

Sekarang substitusikan kembali ke ekspresi asli dengan A = 7.5° dan B = 52.5°:
(tan^2 7.5° - tan^2 52.5°) / (1 - (tan 7.5° tan 52.5°)^2)

Ini masih terlihat rumit.

Mari kita coba identitas lain: tan(x) = sin(x)/cos(x).
Ekspresi menjadi:
(sin^2 A / cos^2 A - sin^2 B / cos^2 B) / (1 - (sin A sin B / cos A cos B)^2)
= ((sin^2 A cos^2 B - sin^2 B cos^2 A) / (cos^2 A cos^2 B)) / (1 - (sin^2 A sin^2 B / cos^2 A cos^2 B))
= ((sin^2 A cos^2 B - sin^2 B cos^2 A) / (cos^2 A cos^2 B)) / ((cos^2 A cos^2 B - sin^2 A sin^2 B) / (cos^2 A cos^2 B))
= (sin^2 A cos^2 B - sin^2 B cos^2 A) / (cos^2 A cos^2 B - sin^2 A sin^2 B)

Kita bisa menggunakan identitas sin^2 x = (1 - cos 2x)/2 dan cos^2 x = (1 + cos 2x)/2.
Atau identitas sin(A+B)sin(A-B) = sin^2 A - sin^2 B dan cos(A+B)cos(A-B) = cos^2 A - sin^2 B.

Perhatikan penyebutnya: cos^2 A cos^2 B - sin^2 A sin^2 B.
Ini adalah cos^2 A (1 - sin^2 B) - (1 - cos^2 A) sin^2 B
= cos^2 A - cos^2 A sin^2 B - sin^2 B + cos^2 A sin^2 B
= cos^2 A - sin^2 B.

Ini juga tidak cocok.

Mari kita kembali ke:
(sin^2 A cos^2 B - sin^2 B cos^2 A) / (cos^2 A cos^2 B - sin^2 A sin^2 B)

Pembilang:
sin^2 A cos^2 B - sin^2 B cos^2 A = sin^2 A (1 - sin^2 B) - (1 - sin^2 A) sin^2 B
= sin^2 A - sin^2 A sin^2 B - sin^2 B + sin^2 A sin^2 B
= sin^2 A - sin^2 B.

Penyebut:
cos^2 A cos^2 B - sin^2 A sin^2 B.

Kita tahu bahwa cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B.
Dan cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B.

Juga, cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x.

Perhatikan bentuk penyebut: cos^2 A cos^2 B - sin^2 A sin^2 B.
Kita bisa menulisnya sebagai:
cos^2 A (1-sin^2 B) - (1-cos^2 A) sin^2 B
= cos^2 A - cos^2 A sin^2 B - sin^2 B + cos^2 A sin^2 B
= cos^2 A - sin^2 B.

Ini masih belum benar.

Mari kita coba gunakan identitas:
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)

Perhatikan bentuk soalnya: (tan^2 A - tan^2 B) / (1 - (tan A tan B)^2).

Jika A = 187.5° dan B = 52.5°.
Perhatikan A + B = 187.5° + 52.5° = 240°.
Perhatikan A - B = 187.5° - 52.5° = 135°.

Kita tahu tan(240°) = tan(180° + 60°) = tan(60°) = sqrt(3).
tan(135°) = tan(180° - 45°) = -tan(45°) = -1.

Mari kita periksa identitas:
tan(A+B)tan(A-B) = [(tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)] * [(tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)]
= (tan^2 A - tan^2 B) / (1 - tan^2 A tan^2 B).

Ini mirip, tetapi ada kuadrat di penyebut tan A tan B.

Jika soalnya adalah: (tan^2 187,5° - tan^2 52,5°) / (1 - tan^2 187,5° tan^2 52,5°), maka jawabannya adalah tan(187,5° + 52,5°) * tan(187,5° - 52,5°) = tan(240°) * tan(135°) = sqrt(3) * (-1) = -sqrt(3).

Namun, soalnya adalah (1 - (tan 187,5° tan 52,5°)^2).

Mari kita kembali ke bentuk sinus dan kosinus:
(sin^2 A cos^2 B - sin^2 B cos^2 A) / (cos^2 A cos^2 B - sin^2 A sin^2 B)

Pembilang: sin^2 A cos^2 B - sin^2 B cos^2 A = sin^2 A (1-sin^2 B) - (1-sin^2 A) sin^2 B = sin^2 A - sin^2 B.

Penyebut: cos^2 A cos^2 B - sin^2 A sin^2 B.

Kita tahu identitas: cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos(x-y) = cos x cos y + sin x sin y

Jadi, cos(A+B)cos(A-B) = (cos A cos B - sin A sin B)(cos A cos B + sin A sin B)
= cos^2 A cos^2 B - sin^2 A sin^2 B.

Penyebutnya adalah cos(A+B)cos(A-B).

Jadi ekspresi menjadi:
(sin^2 A - sin^2 B) / (cos(A+B)cos(A-B)).

Kita tahu sin^2 A - sin^2 B = sin(A+B)sin(A-B).

Jadi ekspresi tersebut sama dengan:
[sin(A+B)sin(A-B)] / [cos(A+B)cos(A-B)]
= [sin(A+B)/cos(A+B)] * [sin(A-B)/cos(A-B)]
= tan(A+B) tan(A-B).

Sekarang kita substitusikan nilai A = 187.5° dan B = 52.5°.

A + B = 187.5° + 52.5° = 240°.
A - B = 187.5° - 52.5° = 135°.

Jadi, ekspresinya adalah tan(240°) * tan(135°).

tan(240°) = tan(180° + 60°) = tan(60°) = sqrt(3).
tan(135°) = tan(180° - 45°) = -tan(45°) = -1.

Hasilnya adalah sqrt(3) * (-1) = -sqrt(3).

Metadata:
Kelas: 10, 11, 12
Bab: Trigonometri
Topik: Identitas Trigonometri, Sudut Berlian
Bagian: Penyederhanaan Ekspresi Trigonometri