Hitunglah nilai dari lim x -> 2 [f(x)-f(2)]/(x-2) untuk

Untuk f(x)=3x^2, nilainya adalah 12. Untuk f(x)=1/x, nilainya adalah -1/4.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung turunan dari fungsi yang diberikan menggunakan definisi turunan, yaitu:
$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$
Dalam kasus ini, $a=2$.

**a.  $f(x) = 3x^2$**

Langkah 1: Tentukan $f(2)$.
$f(2) = 3(2)^2 = 3(4) = 12$

Langkah 2: Substitusikan $f(x)$ dan $f(2)$ ke dalam rumus definisi turunan.
$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 12}{x-2}$

Langkah 3: Faktorkan pembilang.
Perhatikan bahwa $3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$.

Langkah 4: Lakukan substitusi kembali ke dalam limit.
$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{3(x-2)(x+2)}{x-2}$

Langkah 5: Batalkan faktor $(x-2)$ karena $x \to 2$ (artinya $x \neq 2$).
$f'(2) = \lim_{x \to 2} 3(x+2)$

Langkah 6: Substitusikan nilai $x=2$ ke dalam ekspresi yang tersisa.
$f'(2) = 3(2+2) = 3(4) = 12$

Jadi, nilai dari $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ untuk $f(x)=3x^2$ adalah 12.

**b.  $f(x) = 1/x$**

Langkah 1: Tentukan $f(2)$.
$f(2) = 1/2$

Langkah 2: Substitusikan $f(x)$ dan $f(2)$ ke dalam rumus definisi turunan.
$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x-2}$

Langkah 3: Samakan penyebut pada pembilang.
$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2x} - \frac{x}{2x} = \frac{2-x}{2x}$

Langkah 4: Substitusikan kembali ke dalam limit.
$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{2-x}{2x}}{x-2}$

Langkah 5: Sederhanakan ekspresi.
$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{2x(x-2)}$

Langkah 6: Faktorkan -1 dari pembilang.
Perhatikan bahwa $2-x = -(x-2)$.
$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)}{2x(x-2)}$

Langkah 7: Batalkan faktor $(x-2)$ karena $x \to 2$ (artinya $x \neq 2$).
$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{-1}{2x}$

Langkah 8: Substitusikan nilai $x=2$ ke dalam ekspresi yang tersisa.
$f'(2) = \frac{-1}{2(2)} = \frac{-1}{4}$

Jadi, nilai dari $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ untuk $f(x)=1/x$ adalah -1/4.