Tentukan nilai dari lim x->0 (xsinx)/(1-cos2x)

1/2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari lim x->0 (xsinx)/(1-cos2x), kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, penyederhanaan menggunakan identitas trigonometri, atau aturan L'Hopital jika bentuknya tak tentu.

Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu bahwa 1 - cos(2x) = 2sin^2(x).
Jadi, limitnya menjadi: lim x->0 (xsinx)/(2sin^2(x))
Kita juga tahu bahwa lim x->0 (sinx)/x = 1, yang berarti lim x->0 x/sinx = 1.
Kita dapat menulis ulang ekspresi tersebut sebagai:
lim x->0 (x/sinx) * (sinx / (2sinx))
lim x->0 (1) * (1/2)
= 1/2

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital
Karena substitusi x=0 menghasilkan bentuk 0/0 (0*sin(0) = 0 dan 1-cos(0) = 1-1 = 0), kita dapat menerapkan aturan L'Hopital.
Turunan dari pembilang (xsinx) adalah (1*sinx + x*cosx) = sinx + xcosx.
Turunan dari penyebut (1-cos2x) adalah -(-sin2x * 2) = 2sin2x.
Jadi, limitnya menjadi: lim x->0 (sinx + xcosx) / (2sin2x)
Substitusikan x=0 lagi:
(sin(0) + 0*cos(0)) / (2sin(0)) = (0 + 0) / 0 = 0/0.
Karena masih berbentuk tak tentu, kita terapkan aturan L'Hopital lagi.
Turunan dari pembilang (sinx + xcosx) adalah (cosx + (1*cosx + x*(-sinx))) = cosx + cosx - xsinx = 2cosx - xsinx.
Turunan dari penyebut (2sin2x) adalah 2(cos2x * 2) = 4cos2x.
Jadi, limitnya menjadi: lim x->0 (2cosx - xsinx) / (4cos2x)
Substitusikan x=0:
(2cos(0) - 0*sin(0)) / (4cos(0))
= (2*1 - 0) / (4*1)
= 2/4
= 1/2

Kedua metode memberikan hasil yang sama.