Hitunglah nilai dari limit berikut.lim n -> tak hingga

Nilai limit adalah -tak hingga.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit:
lim n -> tak hingga (5^n - 10^n) / 3^(2n)

Kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan suku dengan pangkat tertinggi di penyebut, yaitu (3^2)^n = 9^n.

lim n -> tak hingga (5^n/9^n - 10^n/9^n) / (3^(2n)/9^n)
lim n -> tak hingga ((5/9)^n - (10/9)^n) / (9^n/9^n)
lim n -> tak hingga ((5/9)^n - (10/9)^n) / 1

Ketika n mendekati tak hingga:
(5/9)^n mendekati 0 karena basisnya kurang dari 1.
(10/9)^n mendekati tak hingga karena basisnya lebih dari 1.

Jadi, limitnya menjadi (0 - tak hingga) / 1 = -tak hingga.

Namun, ada kesalahan dalam penyederhanaan awal. Mari kita perbaiki.
Kita bagi dengan suku dengan pangkat tertinggi di pembilang, yaitu 10^n.

lim n -> tak hingga (5^n/10^n - 10^n/10^n) / (3^(2n)/10^n)
lim n -> tak hingga ((5/10)^n - 1) / (9^n / 10^n)
lim n -> tak hingga ((1/2)^n - 1) / (9/10)^n

Ketika n mendekati tak hingga:
(1/2)^n mendekati 0 karena basisnya kurang dari 1.
(9/10)^n mendekati 0 karena basisnya kurang dari 1.

Jadi, limitnya menjadi (0 - 1) / 0. Ini mengarah ke tak hingga negatif atau positif tergantung dari arah pendekatan.

Mari kita gunakan pendekatan lain dengan membandingkan pertumbuhan eksponensial.
Di pembilang, suku yang tumbuh paling cepat adalah -10^n.
Di penyebut, suku yang tumbuh adalah 3^(2n) = 9^n.

lim n -> tak hingga (-10^n) / (9^n)
lim n -> tak hingga -(10/9)^n

Karena (10/9) > 1, maka (10/9)^n akan mendekati tak hingga ketika n mendekati tak hingga.

Jadi, nilai limitnya adalah -tak hingga.