Pada kubus ABCDEFGH, P pada EG sehingga EP=3PG. Jika jarak

Rusuk kubus tersebut adalah $rac{a\sqrt{38}}{6}$.

Pembahasan

Pada kubus ABCDEFGH, P adalah titik pada diagonal ruang EG sehingga EP = 3PG. Kita ingin mencari panjang rusuk kubus jika jarak dari titik E ke garis AP adalah $a$.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah $s$. Kita dapat menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius.

Misalkan titik E berada di titik asal (0,0,0).
Koordinat titik-titiknya adalah:
E = (0, 0, 0)
A = (s, 0, 0)
G = (s, s, s)

Titik P membagi EG dengan perbandingan EP:PG = 3:1. Maka, koordinat P dapat dihitung menggunakan rumus perbandingan:
$P = rac{1 	imes E + 3 	imes G}{1+3}$
$P = rac{1 	imes (0,0,0) + 3 	imes (s,s,s)}{4}$
$P = rac{(0,0,0) + (3s,3s,3s)}{4}$
$P = (rac{3s}{4}, rac{3s}{4}, rac{3s}{4})$

Selanjutnya, kita perlu mencari jarak dari titik E ke garis AP. Jarak ini dapat dihitung menggunakan vektor.

1. Vektor $\vec{EA}$:
$\vec{EA} = A - E = (s, 0, 0) - (0, 0, 0) = (s, 0, 0)$

2. Vektor $\vec{AP}$:
$\vec{AP} = P - A = (rac{3s}{4}, rac{3s}{4}, rac{3s}{4}) - (s, 0, 0)$
$\vec{AP} = (rac{3s}{4} - s, rac{3s}{4}, rac{3s}{4})$
$\vec{AP} = (-rac{s}{4}, rac{3s}{4}, rac{3s}{4})$

Jarak dari titik E ke garis AP ($a$) dapat dihitung dengan rumus:
$a = rac{|\vec{EA} 	imes \vec{AP}|}{|\vec{AP}|}$

Hitung hasil perkalian silang $\vec{EA} 	imes \vec{AP}$:
$\vec{EA} 	imes \vec{AP} = egin{vmatrix} 	extbf{i} & 	extbf{j} & 	extbf{k} \ s & 0 & 0 \ -rac{s}{4} & rac{3s}{4} & rac{3s}{4} \\\end{vmatrix}$
$= 	extbf{i}(0 	imes rac{3s}{4} - 0 	imes rac{3s}{4}) - 	extbf{j}(s 	imes rac{3s}{4} - 0 	imes (-rac{s}{4})) + 	extbf{k}(s 	imes rac{3s}{4} - 0 	imes (-rac{s}{4}))$
$= 	extbf{i}(0) - 	extbf{j}(rac{3s^2}{4}) + 	extbf{k}(rac{3s^2}{4})$
$= (0, -rac{3s^2}{4}, rac{3s^2}{4})$

Hitung magnitudo dari hasil perkalian silang:
$|\vec{EA} 	imes \vec{AP}| = \sqrt{0^2 + (-rac{3s^2}{4})^2 + (rac{3s^2}{4})^2}$
$= \sqrt{rac{9s^4}{16} + rac{9s^4}{16}} = \sqrt{rac{18s^4}{16}} = \sqrt{rac{9s^4}{8}} = rac{3s^2}{2\sqrt{2}}$

Hitung magnitudo dari vektor $\vec{AP}$:
$|\vec{AP}| = \sqrt{(-rac{s}{4})^2 + (rac{3s}{4})^2 + (rac{3s}{4})^2}$
$= \sqrt{rac{s^2}{16} + rac{9s^2}{16} + rac{9s^2}{16}} = \sqrt{rac{19s^2}{16}} = rac{s\sqrt{19}}{4}$

Sekarang, substitusikan kembali ke rumus jarak:
$a = rac{|\vec{EA} 	imes \vec{AP}|}{|\vec{AP}|} = rac{rac{3s^2}{2\sqrt{2}}}{rac{s\sqrt{19}}{4}}$
$a = rac{3s^2}{2\sqrt{2}} 	imes rac{4}{s\sqrt{19}}$
$a = rac{12s^2}{2s\sqrt{38}} = rac{6s}{\sqrt{38}}$

Kita ingin mencari $s$ dalam bentuk $a$. Kuadratkan kedua sisi:
$a^2 = (rac{6s}{\sqrt{38}})^2$
$a^2 = rac{36s^2}{38}$
$a^2 = rac{18s^2}{19}$
$19a^2 = 18s^2$
$s^2 = rac{19a^2}{18}$
$s = \sqrt{rac{19a^2}{18}} = rac{a\sqrt{19}}{3\sqrt{2}} = rac{a\sqrt{38}}{6}$

Jadi, rusuk kubus tersebut adalah $rac{a\sqrt{38}}{6}$.