Hitunglah nilai dari: limit x->0 (sin5x-2sin3xcos2x)/(2x)

-1/2

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit $rac{lim}{x→0} rac{sin5x-2sin3xcos2x}{2x}$, kita dapat menggunakan beberapa pendekatan. Salah satu cara adalah dengan menggunakan aturan L'Hopital karena bentuk limitnya adalah 0/0 saat x mendekati 0. Namun, penyederhanaan menggunakan identitas trigonometri juga bisa dilakukan.

Menggunakan identitas: sin(A)cos(B) = 1/2 [sin(A+B) + sin(A-B)]
Maka, 2sin3xcos2x = 2 * 1/2 [sin(3x+2x) + sin(3x-2x)] = sin5x + sinx.

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$rac{lim}{x→0} rac{sin5x - (sin5x + sinx)}{2x}$
$= rac{lim}{x→0} rac{sin5x - sin5x - sinx}{2x}$
$= rac{lim}{x→0} rac{-sinx}{2x}$

Kita tahu bahwa $rac{lim}{x→0} rac{sinx}{x} = 1$. Maka:
$= rac{lim}{x→0} -rac{1}{2} rac{sinx}{x}$
$= -rac{1}{2} * 1$
$= -rac{1}{2}$