Hitunglah nilai dari setiap limit berikut.limit x->a

Nilai limit adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit $\lim_{x\to a} \frac{3x^2 - 5ax + 2a^2}{x^2 - a^2}$, kita pertama-tama mencoba substitusi langsung nilai $x=a$. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut.

Substitusi $x=a$:
Pembilang: $3a^2 - 5a(a) + 2a^2 = 3a^2 - 5a^2 + 2a^2 = 0$
Penyebut: $a^2 - a^2 = 0$

Karena hasilnya adalah $\frac{0}{0}$, kita perlu memfaktorkan pembilang dan penyebut.

Pembilang: $3x^2 - 5ax + 2a^2$
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $3 \times 2a^2 = 6a^2$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $-5a$. Bilangan tersebut adalah $-2a$ dan $-3a$.
$3x^2 - 3ax - 2ax + 2a^2 = 3x(x-a) - 2a(x-a) = (3x-2a)(x-a)$

Penyebut: $x^2 - a^2$
Ini adalah selisih dua kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi $(x-a)(x+a)$.

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x\to a} \frac{(3x-2a)(x-a)}{(x-a)(x+a)}$

Kita dapat mencoret faktor $(x-a)$ karena $x \to a$ berarti $x \neq a$:
$\lim_{x\to a} \frac{3x-2a}{x+a}$

Sekarang kita substitusi $x=a$:
$\frac{3a-2a}{a+a} = \frac{a}{2a}$

Jika $a \neq 0$, maka $\frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\frac{1}{2}$ (dengan asumsi $a \neq 0$).