Hitunglah nilai penjumlahan pada notasi sigma berikut a.

a. -663660, b. -5100, c. 4485550

Pembahasan

Berikut adalah perhitungan untuk setiap notasi sigma:

a. sigma l=20 100 (100-2l^2)
   Ini adalah penjumlahan dari l=20 hingga l=100 untuk ekspresi (100 - 2l^2).
   Sigma(100) dari l=20 sampai 100 = 100 * (100 - 20 + 1) = 100 * 81 = 8100
   Sigma(2l^2) dari l=20 sampai 100 = 2 * Sigma(l^2) dari l=20 sampai 100
   Rumus Sigma(l^2) dari 1 sampai n = n(n+1)(2n+1)/6
   Sigma(l^2) dari 1 sampai 100 = 100(101)(201)/6 = 338350
   Sigma(l^2) dari 1 sampai 19 = 19(20)(39)/6 = 2470
   Sigma(l^2) dari 20 sampai 100 = 338350 - 2470 = 335880
   Jadi, 2 * Sigma(l^2) dari 20 sampai 100 = 2 * 335880 = 671760
   Hasil akhir: 8100 - 671760 = -663660

b. sigma k=1 100 (-1)^k (k^2-k)
   Ini adalah penjumlahan bergantian dari k^2 - k.
   Untuk k=1: (-1)^1 (1^2-1) = -1(0) = 0
   Untuk k=2: (-1)^2 (2^2-2) = 1(2) = 2
   Untuk k=3: (-1)^3 (3^2-3) = -1(6) = -6
   Untuk k=4: (-1)^4 (4^2-4) = 1(12) = 12
   Untuk k=5: (-1)^5 (5^2-5) = -1(20) = -20
   Pola: 0, 2, -6, 12, -20, 30, -42, 56, -72, 90, ...
   Perhatikan bahwa k^2-k = k(k-1). Jadi ekspresinya adalah (-1)^k * k(k-1).
   Ini adalah penjumlahan dari deret yang cukup kompleks. Mari kita coba kelompokkan:
   [(-1)^1(1^2-1)] + [(-1)^2(2^2-2)] + [(-1)^3(3^2-3)] + ... + [(-1)^100(100^2-100)]
   0 + (4-2) - (9-3) + (16-4) - (25-5) + ... + (10000-100)
   0 + 2 - 6 + 12 - 20 + ... + 9900
   Jika kita kelompokkan berpasangan:
   (2-6) + (12-20) + (30-42) + ...
   -4 + (-8) + (-12) + ...
   Ini membentuk deret aritmatika baru dengan suku pertama -4 dan beda -4.
   Kita perlu menentukan ada berapa pasang. Karena k berjalan dari 1 sampai 100, ada 50 pasang.
   Jumlah deret aritmatika: S_n = n/2 * (2a + (n-1)d)
   S_50 = 50/2 * (2*(-4) + (50-1)*(-4))
   S_50 = 25 * (-8 + 49*(-4))
   S_50 = 25 * (-8 - 196)
   S_50 = 25 * (-204)
   S_50 = -5100

c. sigma n=10 110 (n^2-100)
   Ini adalah penjumlahan dari n=10 hingga n=110 untuk ekspresi (n^2-100).
   Sigma(n^2) dari n=10 sampai 110 - Sigma(100) dari n=10 sampai 110
   Sigma(100) dari n=10 sampai 110 = 100 * (110 - 10 + 1) = 100 * 101 = 10100
   Sigma(n^2) dari 10 sampai 110 = Sigma(n^2) dari 1 sampai 110 - Sigma(n^2) dari 1 sampai 9
   Sigma(n^2) dari 1 sampai 110 = 110(111)(221)/6 = 4495935
   Sigma(n^2) dari 1 sampai 9 = 9(10)(19)/6 = 285
   Sigma(n^2) dari 10 sampai 110 = 4495935 - 285 = 4495650
   Hasil akhir: 4495650 - 10100 = 4485550

Hasilnya adalah a. -663660, b. -5100, c. 4485550