Hitunglah setiap limit berikut ini. lim x->pi/2 (sec x +

+∞

Pembahasan

Untuk menghitung limit lim x→π/2 (sec x + 1)tan x, kita perlu menganalisis perilaku fungsi saat x mendekati π/2.

Fungsi yang diberikan adalah: f(x) = (sec x + 1)tan x
Kita tahu bahwa sec x = 1/cos x dan tan x = sin x / cos x.
Jadi, f(x) = (1/cos x + 1) * (sin x / cos x)
      f(x) = ((1 + cos x) / cos x) * (sin x / cos x)
      f(x) = (1 + cos x)sin x / (cos x)^2

Sekarang, mari kita evaluasi saat x mendekati π/2:
Saat x → π/2:
cos x → cos(π/2) = 0
sin x → sin(π/2) = 1

Jadi, pembilangnya mendekati: (1 + 0) * 1 = 1
Penyebutnya mendekati: (0)^2 = 0

Bentuk limit ini adalah 1/0, yang menunjukkan bahwa limitnya akan menuju tak hingga (∞) atau negatif tak hingga (-∞), atau tidak terdefinisi jika pendekatan dari kiri dan kanan berbeda.

Mari kita periksa pendekatan dari sisi kanan (x → (π/2)+) dan sisi kiri (x → (π/2)-):

*   **Saat x → (π/2)- (mendekati π/2 dari kiri, nilai x sedikit lebih kecil dari π/2):**
    cos x positif dan mendekati 0 (cos x → 0+)
    sin x positif dan mendekati 1 (sin x → 1)
    1 + cos x positif dan mendekati 1 (1 + cos x → 1+)
    Maka, f(x) = (1 + cos x)sin x / (cos x)^2 → (1)(1) / (0+)^2 = 1 / 0+ → +∞

*   **Saat x → (π/2)+ (mendekati π/2 dari kanan, nilai x sedikit lebih besar dari π/2):**
    cos x negatif dan mendekati 0 (cos x → 0-)
    sin x positif dan mendekati 1 (sin x → 1)
    1 + cos x positif dan mendekati 1 (1 + cos x → 1+)
    Maka, f(x) = (1 + cos x)sin x / (cos x)^2 → (1)(1) / (0-)^2 = 1 / 0+ → +∞

Karena limit dari kedua sisi sama-sama menuju +∞, maka limitnya adalah +∞.

Cara lain menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika bentuknya 0/0 atau ∞/∞:

Limit = lim x→π/2 (sec x + 1)tan x
Limit = lim x→π/2 (1/cos x + 1) (sin x / cos x)
Limit = lim x→π/2 [(1 + cos x) / cos x] * [sin x / cos x]
Limit = lim x→π/2 [(1 + cos x)sin x] / cos^2 x

Saat x → π/2, bentuknya menjadi (1+0)*1 / 0^2 = 1/0, yang mengarah ke ∞.

Jika kita menggunakan substitusi u = x - π/2, maka saat x → π/2, u → 0. x = u + π/2.
cos(u + π/2) = -sin u
sin(u + π/2) = cos u
sec(u + π/2) = 1/cos(u + π/2) = 1/(-sin u) = -csc u
tan(u + π/2) = sin(u + π/2) / cos(u + π/2) = cos u / (-sin u) = -cot u

Limit menjadi: lim u→0 (-csc u + 1)(-cot u)
= lim u→0 (-1/sin u + 1)(-cos u / sin u)
= lim u→0 [(-1 + sin u)/sin u] * [-cos u / sin u]
= lim u→0 [(-1 + sin u)(-cos u)] / sin^2 u
= lim u→0 [cos u - sin u cos u] / sin^2 u

Saat u → 0, bentuknya menjadi (1 - 0*1)/0^2 = 1/0, yang juga mengarah ke ∞.

Jadi, hasil perhitungannya adalah tak hingga positif.