Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Hitunglah setiap limit berikut ini. lim x->pi/2 (sec x +
Pertanyaan
Hitunglah limit berikut: lim x→π/2 (sec x + 1)tan x
Solusi
Verified
+∞
Pembahasan
Untuk menghitung limit lim x→π/2 (sec x + 1)tan x, kita perlu menganalisis perilaku fungsi saat x mendekati π/2. Fungsi yang diberikan adalah: f(x) = (sec x + 1)tan x Kita tahu bahwa sec x = 1/cos x dan tan x = sin x / cos x. Jadi, f(x) = (1/cos x + 1) * (sin x / cos x) f(x) = ((1 + cos x) / cos x) * (sin x / cos x) f(x) = (1 + cos x)sin x / (cos x)^2 Sekarang, mari kita evaluasi saat x mendekati π/2: Saat x → π/2: cos x → cos(π/2) = 0 sin x → sin(π/2) = 1 Jadi, pembilangnya mendekati: (1 + 0) * 1 = 1 Penyebutnya mendekati: (0)^2 = 0 Bentuk limit ini adalah 1/0, yang menunjukkan bahwa limitnya akan menuju tak hingga (∞) atau negatif tak hingga (-∞), atau tidak terdefinisi jika pendekatan dari kiri dan kanan berbeda. Mari kita periksa pendekatan dari sisi kanan (x → (π/2)+) dan sisi kiri (x → (π/2)-): * **Saat x → (π/2)- (mendekati π/2 dari kiri, nilai x sedikit lebih kecil dari π/2):** cos x positif dan mendekati 0 (cos x → 0+) sin x positif dan mendekati 1 (sin x → 1) 1 + cos x positif dan mendekati 1 (1 + cos x → 1+) Maka, f(x) = (1 + cos x)sin x / (cos x)^2 → (1)(1) / (0+)^2 = 1 / 0+ → +∞ * **Saat x → (π/2)+ (mendekati π/2 dari kanan, nilai x sedikit lebih besar dari π/2):** cos x negatif dan mendekati 0 (cos x → 0-) sin x positif dan mendekati 1 (sin x → 1) 1 + cos x positif dan mendekati 1 (1 + cos x → 1+) Maka, f(x) = (1 + cos x)sin x / (cos x)^2 → (1)(1) / (0-)^2 = 1 / 0+ → +∞ Karena limit dari kedua sisi sama-sama menuju +∞, maka limitnya adalah +∞. Cara lain menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika bentuknya 0/0 atau ∞/∞: Limit = lim x→π/2 (sec x + 1)tan x Limit = lim x→π/2 (1/cos x + 1) (sin x / cos x) Limit = lim x→π/2 [(1 + cos x) / cos x] * [sin x / cos x] Limit = lim x→π/2 [(1 + cos x)sin x] / cos^2 x Saat x → π/2, bentuknya menjadi (1+0)*1 / 0^2 = 1/0, yang mengarah ke ∞. Jika kita menggunakan substitusi u = x - π/2, maka saat x → π/2, u → 0. x = u + π/2. cos(u + π/2) = -sin u sin(u + π/2) = cos u sec(u + π/2) = 1/cos(u + π/2) = 1/(-sin u) = -csc u tan(u + π/2) = sin(u + π/2) / cos(u + π/2) = cos u / (-sin u) = -cot u Limit menjadi: lim u→0 (-csc u + 1)(-cot u) = lim u→0 (-1/sin u + 1)(-cos u / sin u) = lim u→0 [(-1 + sin u)/sin u] * [-cos u / sin u] = lim u→0 [(-1 + sin u)(-cos u)] / sin^2 u = lim u→0 [cos u - sin u cos u] / sin^2 u Saat u → 0, bentuknya menjadi (1 - 0*1)/0^2 = 1/0, yang juga mengarah ke ∞. Jadi, hasil perhitungannya adalah tak hingga positif.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Limit Fungsi Trigonometri Di Titik Tertentu, Aturan L Hopital Jika Relevan
Apakah jawaban ini membantu?