Hitunglah setiap limit berikut ini. limit x->0 (x cos

Limitnya adalah tak terhingga.

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{\tan 2x - \sin 2x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$.

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut terhadap x.
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(x \cos 2x) = 1 \cdot \cos 2x + x \cdot (-2 \sin 2x) = \cos 2x - 2x \sin 2x$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(\tan 2x - \sin 2x) = 2 \sec^2 2x - 2 \cos 2x$

Langkah 2: Substitusikan kembali x=0 ke dalam turunan pembilang dan penyebut.
Pembilang: $\cos(0) - 2(0) \sin(0) = 1 - 0 = 1$
Penyebut: $2 \sec^2(0) - 2 \cos(0) = 2(1)^2 - 2(1) = 2 - 2 = 0$

Karena hasilnya masih $\frac{1}{0}$, ini menunjukkan bahwa limitnya adalah tak terhingga. Namun, mari kita cek kembali perhitungan atau pendekatan lain.

Alternatif: Gunakan identitas trigonometri dan ekspansi deret.
$\\tan 2x = \frac{\\sin 2x}{\\cos 2x}$
Jadi, penyebutnya menjadi $\\frac{\\sin 2x}{\\cos 2x} - \\sin 2x = \\sin 2x (\\frac{1}{\\cos 2x} - 1) = \\sin 2x \\frac{1 - \\cos 2x}{\\cos 2x}$

Limitnya menjadi $\\lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{\\sin 2x \frac{1 - \\cos 2x}{\\cos 2x}}} = \\lim_{x \to 0} \frac{x \cos^2 2x}{\\sin 2x (1 - \\cos 2x)}$
Gunakan identitas $1 - \\cos 2x = 2 \\sin^2 x$ dan $\\sin 2x = 2 \\sin x \\cos x$.
Limitnya menjadi $\\lim_{x \to 0} \frac{x (1)^2}{(2 \\sin x \\cos x)(2 \\sin^2 x)} = \\lim_{x \to 0} \frac{x}{4 \\sin^3 x \\cos x}$

Kita tahu bahwa $\\lim_{x \to 0} \frac{\\sin x}{x} = 1$, jadi $\\lim_{x \to 0} \frac{x}{\\sin x} = 1$.
Limitnya menjadi $\\lim_{x \to 0} \frac{1}{4} \frac{x}{\\sin x} \frac{1}{\\sin^2 x} \frac{1}{\\cos x} = \\lim_{x \to 0} \frac{1}{4} (1) \frac{1}{\\sin^2 x} (1)$
Karena $\\sin x \to 0$ saat $x \to 0$, maka $\\frac{1}{\\sin^2 x} \to \\infty$. Jadi, limitnya adalah tak terhingga.