Hitunglah setiap limit berikut. lim x -> 0 (tan2x/sin3x)

2/3

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{\sin(3x)}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar. Dengan aturan L'Hopital, kita turunkan pembilang dan penyebutnya terhadap x:
Turunan dari tan(2x) adalah $2\sec^2(2x)$.
Turunan dari sin(3x) adalah $3\cos(3x)$.
Maka, limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{3\cos(3x)}$.
Substitusikan x = 0:
$\frac{2\sec^2(0)}{3\cos(0)} = \frac{2(1)^2}{3(1)} = \frac{2}{3}$.

Atau dengan manipulasi aljabar, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $\frac{2x}{2x}$ dan $\frac{3x}{3x}$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin(3x)} \cdot \frac{2x}{3x}$
Kita tahu bahwa $\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1$ dan $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$.
Maka, limitnya menjadi $1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.