integral 10x(2x+5)^4 dx=...

Hasil integralnya adalah (5/12)(2x+5)^5 (2x-1) + C.

Pembahasan

Kita perlu menghitung integral dari 10x(2x+5)^4 dx.
Kita dapat menggunakan metode substitusi.
Misalkan u = 2x + 5.
Maka, du/dx = 2, sehingga dx = du/2.
Kita juga perlu mengekspresikan x dalam bentuk u: x = (u - 5) / 2.

Substitusikan ke dalam integral:
∫ 10x(2x+5)^4 dx = ∫ 10 * ((u - 5) / 2) * u^4 * (du / 2)
= ∫ 10 * (u - 5) / 4 * u^4 du
= (10/4) ∫ (u - 5) u^4 du
= (5/2) ∫ (u^5 - 5u^4) du

Sekarang, kita integralkan terhadap u:
= (5/2) [∫ u^5 du - ∫ 5u^4 du]
= (5/2) [ (u^6 / 6) - 5 * (u^5 / 5) ] + C
= (5/2) [ (u^6 / 6) - u^5 ] + C

Sekarang, substitusikan kembali u = 2x + 5:
= (5/2) [ ((2x + 5)^6 / 6) - (2x + 5)^5 ] + C

Kita bisa mengeluarkan faktor (2x+5)^5:
= (5/2) * (2x + 5)^5 [ ((2x + 5) / 6) - 1 ] + C
= (5/2) * (2x + 5)^5 [ (2x + 5 - 6) / 6 ] + C
= (5/2) * (2x + 5)^5 [ (2x - 1) / 6 ] + C
= (5/12) * (2x + 5)^5 * (2x - 1) + C

Metode lain menggunakan substitusi yang sedikit berbeda:
Misalkan u = 2x + 5, maka du = 2dx, dx = du/2. Juga, x = (u-5)/2.
10x = 10(u-5)/2 = 5(u-5).

Integral menjadi:
∫ 5(u-5) u^4 (du/2)
= (5/2) ∫ (u^5 - 5u^4) du
= (5/2) [u^6/6 - 5u^5/5] + C
= (5/2) [u^6/6 - u^5] + C

Substitusi kembali u = 2x + 5:
= (5/2) [ (2x+5)^6 / 6 - (2x+5)^5 ] + C
= (5/12)(2x+5)^6 - (5/2)(2x+5)^5 + C
= (5/2)(2x+5)^5 [ (1/6)(2x+5) - 1 ] + C
= (5/2)(2x+5)^5 [ (2x+5-6)/6 ] + C
= (5/2)(2x+5)^5 [ (2x-1)/6 ] + C
= (5/12)(2x+5)^5 (2x-1) + C

Jawaban yang benar adalah (5/12)(2x+5)^5 (2x-1) + C