integral 2 5 x akar(x-1) dx=...

Hasil integralnya adalah $\frac{256}{15}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu $\int_2^5 x \sqrt{x-1} \,dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi.
Misalkan $u = x-1$. Maka $du = dx$. Dari $u = x-1$, kita juga mendapatkan $x = u+1$.
Selanjutnya, kita perlu mengubah batas integrasi:
Ketika $x=2$, $u = 2-1 = 1$.
Ketika $x=5$, $u = 5-1 = 4$.
Sekarang, substitusikan $x$, $u$, dan batas integrasi ke dalam integral:
$\int_1^4 (u+1) \sqrt{u} \,du$
Kita dapat menulis ulang $\sqrt{u}$ sebagai $u^{1/2}$: 
$\int_1^4 (u+1) u^{1/2} \,du$
Distribusikan $u^{1/2}$ ke dalam kurung:
$\int_1^4 (u \cdot u^{1/2} + 1 \cdot u^{1/2}) \,du$
$\int_1^4 (u^{3/2} + u^{1/2}) \,du$
Sekarang, integralkan terhadap $u$:
$\left[ \frac{u^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} \right]_1^4$
$\left[ \frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_1^4$
$\left[ \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_1^4$
Evaluasi ekspresi pada batas atas (4) dan batas bawah (1):
Pada $u=4$: $\frac{2}{5}(4)^{5/2} + \frac{2}{3}(4)^{3/2} = \frac{2}{5}(32) + \frac{2}{3}(8) = \frac{64}{5} + \frac{16}{3}$
Pada $u=1$: $\frac{2}{5}(1)^{5/2} + \frac{2}{3}(1)^{3/2} = \frac{2}{5}(1) + \frac{2}{3}(1) = \frac{2}{5} + \frac{2}{3}$
Kurangkan hasil pada batas bawah dari hasil pada batas atas:
$(\frac{64}{5} + \frac{16}{3}) - (\frac{2}{5} + \frac{2}{3})$
$= \frac{64}{5} - \frac{2}{5} + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$
$= \frac{62}{5} + \frac{14}{3}$
Untuk menjumlahkan pecahan ini, cari penyebut bersama, yaitu 15:
$= \frac{62 \times 3}{5 \times 3} + \frac{14 \times 5}{3 \times 5}$
$= \frac{186}{15} + \frac{70}{15}$
$= \frac{186 + 70}{15}$
$= \frac{256}{15}$
Jadi, hasil dari integral $\int_2^5 x \sqrt{x-1} \,dx$ adalah $\frac{256}{15}$.